Liit­protsendiline kasvamine ja kahanemine

Kursus „Funktsioonid”

Kasvagu mingi suuruse väärtus a igas teatavas aja­vahemikus (näiteks tunni, nädala või aasta jooksul) p protsendi võrra aja­vahemiku alguses olnud väärtusest. Leiame, milline on selle suuruse väärtus n-nda aja­vahemiku lõpul:

esimese aja­vahemiku lõpuks on see a+\frac{p}{100}\cdot a = a\left(1+\frac{p}{100}\right),

teise aja­vahemiku lõpuks a\left(1+\frac{p}{100}\right)+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right) = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2,

kolmanda aja­vahemiku lõpuks a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2 = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^3.

Analoogia põhjal saame, et n-nda aja­vahemiku lõpul on vaadeldava suuruse väärtus

An=a(1+p100)n.

See valem väljendab vaadeldava suuruse liit­protsendilist kasvamist. Nii kasvab hoius pangas, bio­mass noores metsas, bakterite arv katse­klaasis, inimeste arv Maal jne.

Näide 1.

Leiame, kui suureks kasvab raha­summa 1000 eurot 15 aasta jooksul, kui pank maksab aastas intressi 3%.

Et a = 1000, p = 3 ja n = 15, siis 15 aasta möödudes on pangas hoius

A_{15}=1000\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{15} = 1000\cdot1,03^{15} = 1557,97 eurot.

Liit­protsendilise kasvamise korral lisab pank aasta lõpul aasta alguses olevale summale juurde nn intressi, mis hakkab uuel perioodil koos aasta alguses oleva rahaga teenima uut intressi. Nii ka igal järgneval aastal (perioodil).

Nii­nimetatud liht­protsendilise kasvamise korral lisatakse igal aastal alg­summale a juurde p% esi­algsest summast. Seega ei hakka eelmise perioodi intress järgmisel perioodil intressi teenima. Liht­protsendilise kasvamise valem on A_n=a+n\cdot a\cdot\frac{p}{100}. Selline kasvamine on n ≥ 2 korral väiksem kui liit­protsendiline kasvamine.

Näide 2.

Noor töötaja pani aasta alguses panka 1000 eurot. Pank maksis intressi 3% aastas. Iga aasta lõpus võttis ta aga aasta intressi 0,03 · 1000 = 30 (eurot) välja ja pani kodus hoiu­karpi. Kui palju raha oli tal 15 aasta pärast kokku pangas ja hoiu­karbis?

Et tegemist on raha liht­protsendilise kasvamisega, siis

A15 = 1000 + 15 · 0,03 · 1000 = 1450 (eurot).

Kui mingi suuruse esi­algne väärtus a väheneb igas kindlas aja­vahemikus p protsendi võrra aja­vahemiku alguses olnud väärtusest, siis n sellise aja­vahemiku lõpuks on vaadeldava suuruse väärtus

An=a(1-p100)n.

See avaldis väljendab liit­protsendilist kahanemist, mille kohaselt väheneb näiteks radioaktiivse aine mass, mingi masina või kogu tehase sisse­seade väärtus teatud aja jooksul jne.

Näide 3.

Teatud radioaktiivsest ainest laguneb öö­päevas 2%. Leiame, kui palju on seda ainet alles 4 ööpäeva möödudes, kui esi­algne kogus oli 5 grammi.

Et tegemist on liit­protsendilise kahanemisega, siis 4. ööpäeva lõpuks on alles A4 = 5 · (1 – 0,02)4 = 5 · 0,984 ≈ 4,61 g radioaktiivset ainet.

Näide 4.

Auto maksis uuena 20 000 eurot. Mitme protsendi võrra väheneb igal aastal auto väärtus, kui kaheksa aasta pärast on selle auto väärtus 11 200 eurot?

Otsitavaks suuruseks on p%. Seega

20000\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)^8=11\ 200 ehk \left(1-\frac{p}{100}\right)^8=0,56, millest

1-\frac{p}{100}=\sqrt[8]{0,56} ehk 1-\frac{p}{100}\approx0,9301.

Siit \frac{p}{100}\approx1-0,9301 ja p ≈ 7.

Järelikult väheneb auto väärtus igal aastal keskmiselt 7% võrra.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

Vastus. Hoius kasvab  € suuruseks. Kui intressi makstakse ainult alg­summast, siis kasvab hoius  € suuruseks.

Vastus. Selleks ajaks kasvab see hoius  € suuruseks.

Vastus. Männikus on 20 aasta pärast  tm puitu.

Vastus. Sellel metsa­tükil on siis  tm puitu.

Vastus. Selles katse­klaasis on öö­päeva möödudes  mikroobi.

Vastus. Maa iga-aastane elanike juurde­kasv oli %. Kui Maa elanike arv kasvab edasi samas tempos, siis 7 miljardi piir ületatakse . aastaks.

Vastus. Arvestatud on % juurde­kasvuga. Maa elanike arv peaks kahe­kordistuma . aastaks ehk  a pärast.

Vastus. Tartu elanik­kond kahanes keskmiselt igal aastal %. 2025. aasta lõpuks on Tartu elanik­kond umbes  inimest.

  1. esimese öö­päeva lõpul?

    Vastus. Alles on % esi­algsest kogusest.
  2. 21. öö­päeva lõpul?

    Vastus. Alles on % esi­algsest kogusest.
  3. 56. öö­päeva lõpul?

    Vastus. Alles on % esi­algsest kogusest.
  1. 5 aasta möödudes?

    Vastus. 5 aasta möödudes on selle masina väärtus  €.
  2. 10 aasta möödudes?

    Vastus. 10 aasta möödudes on selle masina väärtus  €.

Kui palju „maksis” 1 kroon aasta lõpul, kui inflatsioon kuus oli 1%? Kui suur oli sellisel juhul inflatsioon aastas?

Vastus. Sel juhul „maksis” 1 kroon aasta lõpul  senti. Aastas oli inflatsioon %.

Vastus. Hoius kahe­kordistub  aasta pärast

Vastus. Pangas peab olema siis vähemalt  €.

Vastus. See pank maksis aastas intressi %.

Vastus. Panka tuleb paigutada  €

Lisää aiheesta
Muut toiminnot