Reaalarvulise astendajaga aste

Kursus „Funktsioonid”

Tuletame meelde, et kui astme alus on reaalarv a, s.t a ∈ R , siis:

a⁰ = 1, kui a ≠ 0

a¹ = a

aⁿ = a · a · a · ... · a (n tegurit) kui n ∈ {2; 3; 4; …}

$a^{- k} = \frac{1}{a^{k}}$ , kui a ≠ 0 ja k ∈ Z või a > 0 ja k ∈ Q

$a^{\frac{m}{n}} = {\begin{cases} \sqrt[n]{a^{m}}, kui a > 0, m \in Z ja n \in Z^{+} \\ 0, kui a = 0, m \in Z^{+} ja n \in Z^{+} \end{cases}$

Näide 1.

2,603⁰ = 1
8675¹ = 8675
3⁶ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729
(–0,7)³ = (–0,7) · (–0,7) · (–0,7) = –0,343
4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0,0625

10,1^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{10,1^3} = \sqrt[4]{1030,301} ≈ 5,66553635
\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = 9
0^7,5 = 0

Kõigi nende korral on astendajaks murdarv kujul \frac{m}{n}, kus m ∈ Z ja n ∈ Z⁺, sest ka täisarvu n saab esitada murruna, n=\frac{n}{1}.Niisiis tunneme seni ratsionaalarvuliste astendajatega (u ∈ Q, v ∈ Q) astmeid. Nende korral kehtivad järgmised valemid, kui a > 0 ja b > 0:

a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v}

$a^{u} : a^{v} = a^{u - v}$

${(a^{u})}^{v} = a^{u v}$

${(a b)}^{u} = a^{u} b^{u}$

${(\frac{a}{b})}^{u} = \frac{a^{u}}{b^{u}}$

Selgitame järgnevalt astme a^r tähendust, kui astendaja r on irratsionaalarv ja a > 0, a ∈ R. Teeme seda näite 5^{\sqrt{2}} kaudu ja veendume, et 5^{\sqrt{2}} on arv, ning vaatame, kuidas leida seda arvu kuitahes suure täpsusega.Arvuti abil saame, et irratsionaalarv \sqrt{2}=1,41421356\dots. Kirjutame välja \sqrt{2} kümnendlähendid ümardamist tegemata:1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135; …Tulemusena saime arvjada ehk arvude jada. Jadas olevad arvud (jada liikmed) on tavaliselt sõltuvad järjekorranumbrist jadas. Nii on praegu jada esimene liige r₁ arvu \sqrt{2} täisarvuline lähiväärtus (lähend), s.t r₁ = 1, r₂ on arvu \sqrt{2} lähend kümnendiku täpsusega, s.t r₂ = 1,4, analoogiliselt r₃ = 1,41, mis on sajandiku täpsusega jne.Tähistame selle jada üldliikme sümboliga r_n (vt joonealust viidet). Kui nüüd n kasvab (kirjutatakse n\to∞)), siis r_n väärtused lähenevad järjest rohkem arvule \sqrt{2} (lühemalt r_n\to\sqrt{2}).

Arvu 5 vastavad astmed annavad aga jada5¹; 5^1,4; 5^1,41; 5^1,414; 5^1,4142; 5^1,41421; 5^1,414213; 5^1,4142135; …, a_n, …mille üldliige a_n=5^{r_n}.

Et selle jada liikmed on ratsionaalarvuliste astendajatega astmed, siis teame, et neil on arvu tähendus ning me saame neid arvutada. Jada liikmed arvutatuna on järgneva tabeli kolmandas veerus. Seejuures on kolmandas veerus värviliselt märgitud numbrid, mis jäävad edaspidi samaks. Seega kümnetuhandiku täpsusega on 5^{\sqrt{2}}\approx9,7385, aga sajatuhandiku täpsusega on 5^{\sqrt{2}}\approx9,73852. Nii jätkates saame 5^{\sqrt{2}} väärtuse kuitahes täpselt.

Näide 2. Leiame 5^{-\sqrt{2}}. Kasutame astme omadust a^{-k}=\frac{1}{a^k}, mis kehtib ka reaalarvulise astendaja korral. Siis 5^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{5^{\sqrt{2}}}. Võttes nüüd eelmisest tabelist, et 5^{\sqrt{2}}\approx9,7385, saame, et 5^{-\sqrt{2}}\approx\frac{1}{9,7385}\approx0,10269. Sama tulemuse saaksime ka taskuarvutil arvutades.

Kokku võttes oleme a > 0 korral saanud astme a^r väärtuseks reaalarvu nii ratsionaalarvulise kui ka irratsionaalarvulise astendaja r korral. Lühemalt:a^r on reaalarv, kui a ∈ R⁺ ja r ∈ R.Seejuures jäävad kehtima kõik peatüki alguses käsitletu seosed.

Näide 3.

4^{\sqrt{3}}\cdot4^{2\sqrt{3}} = 4^{\sqrt{3}+2\sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{3}} = \left(4^3\right)^{\sqrt{3}} = 64^{\sqrt{3}}
3^{7+\sqrt{5}}:\ 3^{5+\sqrt{5}} = 3^{7+\sqrt{5}-\left(5+\sqrt{5}\right)} = 3^2 = 9
\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{6}} = 2^{\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}} = 2^{\sqrt{18}} = 2^{3\sqrt{2}} = \left(2^3\right)^{\sqrt{2}} = 8^{\sqrt{2}}
2^{\sqrt{7}}\cdot5^{\sqrt{7}} = \left(2\cdot5\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\sqrt{7}}
12^{\sqrt{2}}:\ 4^{\sqrt{2}} = \left(12\ :\ 4\right)^{\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2}}

Kehtivad ka astmete võrdsusest tulenevad järeldused (a > 0, u, v ∈ R):

kui a^u = a^v, siis 1) u = v või 2) a = 1.

Näide 4. Võrrandi 7^x = 343 lahendamiseks saame selle kirjutada kujul 7^x = 7³, millest x = 3.

Näites 4 lahendatud võrrand on eksponentvõrrand, s.t võrrand, kus tundmatu esineb vaid astendajas. Nendega tutvume põhjalikumalt hiljem.Astme a^r, kus a > 0 ja r ∈ R väärtuse arvutamiseks on taskuarvutil klahv x^y või y^x või a^x või ^. Sõltuvalt arvutist tuleb siis a^r leida kas skeemi a x^y r = või r y^x a = või siis skeemi a ^ r = järgi.

Näide 5. 2,5^1,8 ≈ 5,2035, arvutusskeem: 2,5 x^y 1,8 = või 2,5 ^ 1,8 =;0,3^–7 ≈ 4572,4737, arvutusskeem: 0,3 x^y 7 +/– = või 0,3 ^ 7 +/– =.

Avaldiste a^{\sqrt{b}} ja a^{\frac{1}{c}} väärtusi saab arvutada vastavalt skeemidelea x^y b √ = ja a x^y c 1/x = võia ∧ b √ = ja a ∧ ( 1 ÷ c ) =.Kui arvutil on klahv x^1/y või \sqrt[y]{x} (vahel \sqrt[x]{y}), saab a^{\frac{1}{c}} ehk \sqrt[c]{a} väärtust arvutada lühemalt:a x^1/y c = või a

\sqrt[x]{y}

c = või c

\sqrt[x]{y}

a =.

Näide 6. 3^{\sqrt{2}}\approx4,7288, arvutusskeem on 3 x^y 2 √ =, \sqrt[5]{4}=4^{\frac{1}{5}}\approx1,3195, arvutusskeem on 4 x^y 5 1/x = või 4 x^1/y 5 =.

Avaldise a^{\frac{m}{n}} ehk \sqrt[n]{a^m} väärtuse arvutamiseks sobivad arvutusskeemid:

a x^y ( m ÷ n ) =,a x^y m a b/c n =,

a x^y m = x^y n 1/x =,m ÷ n M a x^y MR =.

Kui arvutil on astendamise klahv ∧, saab arvutada skeemi järgia ∧ ( m ÷ n ) =.

Näide 7. 1,7^{\frac{2}{3}}\approx1,4244, mille saame arvutada mitmeti:

1,7 x^y ( 2 ÷ 3 ) =1,7 x^y 2 a b/c 3 =1,7 x² x^y 3 1/x =

1,7 ∧ ( 2 ÷ 3 ) =1,7 x^y 2 = x^y 3 1/x =2 ÷ 3 M 1,7 x^y MR =

Astme 10^r leidmiseks on arvutil klahv 10^x ning vastav arvutusskeem on r 10^x. Näiteks arvutades skeemi järgi 3,04 10^x saame, et 10^3,04 ≈ 1096,4782.

Seotud sisu

Ülesanded

Avaldis	c^5	c^8	c^{11}	c^1
Arvu c lubatavad väärtused

Avaldis	\left(c+3\right)^1	\left(c-5\right)^1	c^{10}	\left(c-8\right)^0
Arvu c lubatavad väärtused

Avaldis	\left(-c\right)^0	c^{-4}	c^{-3}	c^{-1}
Arvu c lubatavad väärtused

Avaldis	c^{\frac{3}{4}}	c^{\frac{1}{8}}	c^{\frac{1}{3}}	c^{-\frac{3}{8}}
Arvu c lubatavad väärtused

4^3 =

\left(-4\right)^3 =

-4^3 =

5^0 =

-5^0 =

\left(-5\right)^0 =

0^6 =

0^1 =

0^0 =

3,2^1 =

1^{18} =

-7^1 =

\left(-1\right)^9 =

\left(-1\right)^7 =

\left(-1\right)^{2n+1} =

\left(-1\right)^{2n-1} =

\left(-1\right)^4 =

-1^4 =

\left(-1\right)^{28} =

\left(-1\right)^{2n} =

2^{-3} =

5^{-1} =

6^{-2} =

2,5^{-1} =

0,25^{-2} =

0^{-3} =

1^{-7} =

\left(-2\right)^{-3} =

\left(-10\right)^{-2} =

-4^{-2} =

\left(-1\right)^{-6} =

\left(-5\right)^{-3} =

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} =

\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} =

\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} =

\frac{1}{3^{-2}} =

\frac{2}{5^{-3}} =

\frac{9}{2^{-4}} =

\frac{2}{2^{-3}} =

\frac{5}{1^{-4}} =

4^{\frac{1}{2}} =

0,25^{\frac{3}{2}} =

125^{-\frac{2}{3}} =

0,0625^{0,75} =

16^{0,125} =

9^{-0,5} =

-16^{\frac{1}{4}} =

\left(-16\right)^{\frac{1}{4}} =

0^{\frac{2}{7}} =

1^{\frac{4}{9}} =

-8^{\frac{1}{3}} =

0^{-2,4} =

2^{1,5}\cdot2^{2,5} =

4^{2,8}\cdot4^{0,2} =

3^{5,4}\cdot3^{-2,4} =

1,8^7:\ 1,8^5 =

\left(-0,4\right)^9\ :\ \left(-0,4\right) =

3^{-6\ }:\ 3^{-4} =

\left(4^{\frac{5}{12}}\right)^6 =

\left(2^{-\frac{4}{7}}\right)^{14} =

\left(3^{0,25}\right)^8 =

\left(7\cdot3\right)^2 =

\left(25\cdot49\right)^{\frac{1}{2}} =

\left(8\cdot27\right)^{\frac{2}{3}} =

\left(\frac{8}{125}\right)^{\frac{1}{3}} =

\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} =

\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{2}{3}} =

a^7\cdot a^3 =

b^{-2}\cdot b^6 =

c^{-0,4}\cdot c^{-2,8} =

k^n\cdot k^{8-n} =

r^0\cdot r^{-1} =

m^{4n}\cdot m^n =

a^4:\ a^3 =

a^{-3,2}:\ a^{-1,2} =

a^{-1}:\ a^0 =

\left(p^{-5}\right)^4 =

\left(q^0\right)^{-5} =

\left(r^{-0,5}\right)^7 =

2n\cdot4n^{-3} =

12a^5:\ 10a^{-5} =

\left(8r^{-3}\right)^{\frac{4}{3}} =

\sqrt[3]{4}:\sqrt[6]{2} =

9^{-\frac{5}{2}}\cdot\sqrt[3]{27} =

\left(\sqrt[8]{64}\right)^{\frac{4}{15}} =

\sqrt[3]{a^2}:\sqrt[6]{a^3} =

a^{-5}\cdot\sqrt[3]{a^{0,3}} =

\left(\sqrt[7]{a}\right)^0 =

\sqrt{5}:\sqrt[4]{25} =

\sqrt[3]{8^{-3}}\cdot2^3 =

\sqrt[5]{a^2}:\sqrt[15]{a^4}\cdot a^{\frac{3}{15}} =

\left(a^{\frac{1}{6}}-b^3\right)\left(a^{\frac{1}{6}}+b^3\right) =

\left(\sqrt[4]{9}+8^{\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt[4]{9}-8^{\frac{1}{3}}\right) =

\left(a^{\frac{8}{7}}+a^{-\frac{4}{7}}\right)a^{\frac{7}{2}} =

\left(x^{\frac{1}{3}}-c^{-1}\right)\left(x^{\frac{1}{3}}+c^{-1}\right) =

\left(a^{0,5}-2\sqrt{a}\right)^2 =

\left(5^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} =

4^{\sqrt{3}}:\ 4^{\sqrt{3}-2} =

2^{\sqrt{3}}\cdot2^{\sqrt{2}} =

\left(2^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{3}} =

5^{\sqrt{12}}\cdot5^{\sqrt{3}}\cdot5^{\sqrt{27}} =

3^{\sqrt{5}}\cdot3^{-3\sqrt{5}} =

2^{\sqrt{3}}\cdot5^{\sqrt{3}} =

2^{3\cdot2^{0,5}}:2^{2^{0,5}} =

10^{\sqrt{7}}:\ 2^{\sqrt{7}} =

7^{\sqrt{5}}\cdot7^{-\sqrt{5}} =

2^{\sqrt{2}}:\ 16^{-\sqrt{2}} =

10^{2\sqrt{2}}:\ 25^{2\sqrt{2}} =

2^x=16

x =

3^x=27^{-1}

x =

5^{-x}=25

x =

\sqrt[4]{4}=8^x

x =

9\cdot3^x=27^{-x}

x =

0,125^x=2^{4x}

x =

5^x=25^{\sqrt{2}}

x =

4^{\sqrt{2}}=2^{x+\sqrt{2}}

x =

6^{x+\sqrt{2}}=1

x =

5^{x+1}=0

x =

3^{x^2-4}=1

x = või x =

7^{x-8}=-1

x =

${0,8}^{- 4}$
$1^{- 5}$
${(- 7)}^{0}$
$- 3^{2}$
${(- 3)}^{1}$
$0^{4}$
${(- 2)}^{- 10}$
$6^{0,6}$

${(- 3)}^{1}$
$0^{4}$
$1^{- 5}$
${(- 2)}^{- 10}$
${(- 7)}^{0}$
${0,8}^{- 4}$
$- 3^{2}$
$6^{0,6}$

2^4 =

5^{2,4} =

1,038^{10} =

2753^{0,35} =

2^{-3} =

4^{-6,2} =

2,13^{-6} =

9009^{-0,7} =

2^{\sqrt{16}} =

5^{\sqrt{9,3}} =

1,1^{\sqrt{476}} =

6,6^{\sqrt{63,9992}} =

9^{\frac{1}{2}} =

77^{\frac{1}{9}} =

25^{\frac{1}{10}} =

32\ 086^{\frac{1}{4}} =

\pi^4 =

2^{\pi} =

\pi^{\pi} =

5^{-\pi} =

-3,3^5 =

\left(-3,3\right)^5 =

\left(-0,72\right)^8 =

-1,3^{2,9} =

10^7 =

10^{1,09} =

10^{-5,3} =

10^{18,04} =

10^{\pi} =

10^{\sqrt{5}} =

\sqrt[7]{10} =

\sqrt[13]{10^4} =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Reaal­arvulise astendajaga aste

Kursus „Funktsioonid”

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Reaalarvulise astendajaga aste