Eespool nägime, et mitmetel funktsioonidel on ühine omadus: nende graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes ja nende graafiku peegeldamisel y-teljest saame sellesama graafiku. Sellise omadusega funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks.
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f (–x) = f (x).
Muidugi peab koos iga x-ga kuuluma funktsiooni määramispiirkonda ka –x ehk funktsiooni määramispiirkond peab olema sümmeetriline x-telje 0-punkti suhtes.
Veendume, et selliselt defineeritud paarisfunktsiooni graafik on tõepoolest sümmeetriline y-telje suhtes.
TEOREEM 1. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.
Tõestus.
Eeldame, et funktsioon f on paarisfunktsioon, s.t iga x ∈ X korral f (x) = f (–x). Meil tuleb näidata, et kui mingi punkt P asub funktsiooni f graafikul, siis asub sellel graafikul ka punkt P', mis on punktiga P sümmeetriline y-telje suhtes (joonis 2.56).
Olgu P(x; y) funktsiooni graafiku mingi punkt. Selle punkti ordinaat y = f (x). Eelduse kohaselt aga f (x) = f (–x) ja seega ka y = f (–x), s.t punkt P'(–x; y) asub samuti funktsiooni graafikul. Et punktid P(x; y) ja P'(–x; y) on sümmeetrilised y-telje suhtes (vt joonis 2.49a), on teoreem tõestatud. ♦
Näide 1.
Kontrollime, kas funktsioonid y = 4x2 ja y = 2x4 – x + 2 on paarisfunktsioonid. Selleks leiame f (x) ja f (–x).
Esimesel juhul f (x) = 4x2, f (–x) = 4(–x)2 = 4x2 ja f (x) = f (–x).
Teisel juhul f (x) = 2x4 – x + 2, f (–x) = 2(–x)4 – (–x) + 2 = 2x4 + x + 2 ja f (x) ≠ f (–x).
Seega funktsioon y = 4x2 on paarisfunktsioon, kuid y = 2x4 – x + 2 ei ole.
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f (–x) = –f (x).
Ka siin peab funktsiooni määramispiirkond olema sümmeetriline x-telje 0-punkti suhtes.
Võrdusest f (–x) = –f (x) nähtub, et paaritu funktsiooni väärtused kohtadel x ja –x erinevad ainult märgi poolest.
Näide 2.
Kontrollime, kas funktsioonid y = 2x4 – x + 2 ja y = x3 – x on paaritud funktsioonid. Selleks leiame f (–x) ja –f (x).
Esimesel juhul f (–x) = 2x4 + x + 2, –f (x) = –(2x4 – x + 2) = –2x4 + x – 2 ning f (–x) ≠ –f (x).
Teisel juhul f (–x) = (–x)3 – (–x) = –x3 + x, –f (x) = –(x3 – x) = –x3 + x ning f (–x) = –f (x).
Järelikult funktsioon y = 2x4 – x + 2 ei ole paaritu, kuid funktsioon y = x3 – x on.
Uurime paaritu funktsiooni graafiku sümmeetriat. Olgu meil antud paaritu funktsioon y = f (x). Valime f (x) graafikul mingi punkti A(x; f (x)). Vaatleme graafikul teist punkti B, mille abstsiss on –x; seega punkti B(–x; f (–x)). Et tegemist on paaritu funktsiooniga, siis f (–x) = –f (x) ja järelikult B koordinaadid on (–x; –f (x)). Saime, et punktide A ja B mõlemad koordinaadid erinevad teineteisest ainult märgi poolest. Nagu teame, on sellised punktid sümmeetrilised koordinaatide alguspunkti suhtes (joonis 2.57).
Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi:
TEOREEM 2. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.
Ülesanded A
Ülesanne 483. Paaritu ja paarisfunktsiooni graafiku joonestamine
Ülesanne 484. Paaris- ja paaritu funktsioon
Ülesanne 485. Paaris- ja paaritu funktsioon
- y = x–3
- y = x–2
- y = x2n
- y = x2
- y = x2n+1
- y = x4
- y = x3
- y = x0
- y = x–1
- y = x
Ülesanne 486. Paaris- ja paaritu funktsioon
 Joon. 2.58 |
| |||||
Ülesanded B
Ülesanne 487. Tõestamine
Ülesanne 488. Tõestamine
Ülesanne 489. Kahe paaritu funktsiooni korrutis ja jagatis
Vastus. Kahe paaritu funktsiooni korrutis ja jagatis on .
Ülesanne 490. Paarisfunktsioon
- y = x2 f (x)
- y = x f (x)
- y = x2 + f (x)
- y = x2 f (x) – 10
- y = x f (x) + x
- y = x2 – 5 f (x)
Ülesanne 491. Paaritu funktsioon
- y = x f (x)
- y = x2 f (x)
- y = f (x) + x
- y = x2 + f (x)
- y = 3 f (x) – x3
- y = x f (x) + 10
