Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

1. SIINUSFUNKTSIOONI TULETIS.

Leiame siinusfunktsiooni tuletise. Selleks läheb tarvis valemit sin α – sin β teisendamiseks korrutiseks. Tuletame selle valemi. Teatavasti

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.

Lahutame nende võrduste vastavad pooled. Siis

sin (x + y) – sin (x – y) = 2 cos x sin y.

Leiame x ja y nii, et x + y = α ja x – y = β ning asendame siis tulemused viimasesse võrdusse. Nendest võrranditest koosneva süsteemi lahendamisel saame, et x=\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2} ja y=\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}. Nüüdsin α – sin β = 2\cos\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}.Funktsiooni y = sin x tuletise leidmiseks leiame Δy avaldise. Seejuures kasutame äsja tuletatud valemit:\Delta y = \sin\left(x+\Delta x\right)-\sin x = 2\cos\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = 2\cos\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x.Teades, et $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , saame:

$(\sin x)'$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{2 \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \sin 0,5 Δ x}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}$ = $\cos x \cdot 1$ = $\cos x$ .

Seega,

(sin x)' = cos x.

Näide 1.

Leiame 1) y=\frac{1-\sin x}{\sin x} ja 2) y = sin(4x³ – x) tuletise.

Jagatise tuletise reegli kohaselt

y' = \frac{\left(1-\sin x\right)^'\sin x-\left(1-\sin x\right)\left(\sin x\right)^'}{\sin^2x} = \frac{-\cos x\sin x-\left(1-\sin x\right)\cos x}{\sin^2x} = -\frac{\cos x}{\sin^2x}.

Olgu y = sin t ja t = 4x³ – x, siis

y' = \left(\sin t\right)^'\cdot\left(4x^3-x\right)^' = \cos t\cdot\left(12x^2-1\right) = \left(12x^2-1\right)\cos\left(4x^3-x\right).

2. KOOSINUSFUNKTSIOONI TULETIS.Analoogiliselt siinusfunktsiooniga leitakse funktsiooni y = cos x tuletis. Seejuures kasutatakse valemit \cos\mathrm{\alpha}-\cos\mathrm{\beta}=-2\sin\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}, mida seni pole varem samuti käsitletud:\Delta y = \cos\left(x+\Delta x\right)-\cos x = -2\sin\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = -2\sin\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x;

(\cos x)'

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

\lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin (x + 0,5 Δ x) \sin 0,5 Δ x}{Δ x}

- \lim_{Δ x \to 0} \sin (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}

- \sin x \cdot 1

- \sin x

Seega,

(cos x)' = –sin x.

Näide 2.

Leiame y = sin x ⋅ cos x tuletise.

Korrutise tuletise reegli kohaselt

(\sin x\cdot\cos x)^' = (\sin x)^'\cdot\cos x+\left(\sin x\right)\cdot\left(\cos x\right)^' = \cos^2x-\sin^2x = \cos2x.

3. TANGENSFUNKTSIOONI TULETIS.Funktsiooni y = tan x tuletis leitakse jagatise \frac{\sin x}{\cos x} tuletisena. Selgub, et

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Näide 3.

Leiame y = x – tan x tuletise.

\left(x-\tan x\right)^' = 1-\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\cos^2x-1}{\cos^2x} = -\frac{\sin^2x}{\cos^2x} = -\tan^2x.

Näide 4.

Leiame y = cos^–1 x – tan² x tuletise.

Tuletis tuleb võtta kummastki liidetavast, mida vaatleme liitfunktsioonidena. Esimese liidetava korral y = u^–1 ja u = cos x, teise korral y = t² ja t = tan x.

Nüüd

\left(\cos^{-1}x-\tan^2x\right)^' = \left(u^{-1}\right)^'\cdot\left(\cos x\right)^'-\left(t^2\right)^'\cdot\left(\tan x\right)^' = -1\cdot u^{-2}\left(-\sin x\right)-2t\cdot\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos^2x}-\frac{2\tan x}{\cos^2x} = \frac{\sin x-2\tan x}{\cos^2x}.

Ще на цю тему

Ülesanded B

Ülesanne 863. Funktsiooni tuletis

y=6\sin x
y' =

y=-5\sin x
y' =

y=4,3\sin x
y' =

y=\frac{1}{\sin x}
y' =

y=\frac{\sin x}{1+\sin x}
y' =

y=x^3\sin x
y' =

y=\frac{\sin2x}{\cos x}
y' =

y=\sin^2x
y' =

y=6x^4+\sin x
y' =

y=0,4\cos x
y' =

y=-3\cos x
y' =

y=x\cos x
y' =

y=\frac{1}{\cos x}
y' =

y=\cos^2x
y' =

y=\sqrt{\cos x}
y' =

y=\cos\left(-x\right)
y' =

y=\cos4x
y' =

y=\cos\sqrt{x}
y' =

Ülesanne 864. Funktsiooni tuletis

y=\frac{\cos x}{\sin x}
y' =

y=\cos2x
y' =

y=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}
y' =

y=\left(2+\cos x\right)^2
y' =

y=\left(\sin x+\cos x\right)^2
y' =

y=5\sin x+3\cos x
y' =

Ülesanne 865. Funktsiooni tuletis

y=5\tan x
y' =

y=-9\tan x
y' =

y=x\tan x
y' =

y=\frac{\tan x}{1+\tan x}
y' =

y=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}
y' =

y=\frac{1}{\tan x}
y' =

y=\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)
y' =

y=\tan\frac{x}{2}
y' =

y=\tan8x
y' =

Ülesanne 866. Funktsiooni tuletis

y=\sin x\tan x
y' =

y=\sin x\left(\cos x-1\right)
y' =

y=\tan2x
y' =

y=\cos x\left(\sin x+\tan x\right)
y' =

Ülesanne 867. Funktsiooni tuletise väärtus

f'\left(\frac{\pi}{4}\right), kuiy=5\sin x
f'\left(x\right) =
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) =

f'\left(0\right), kuiy=\frac{1}{\cos x}
f'\left(x\right) =
f'\left(0\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{6}\right), kuiy=\sin2x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{3}\right), kuiy=\tan x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) =

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusunurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = .

Ülesanne 869. Funktsiooni tuletis

Vastus. (cot x)' =

Ще на цю тему

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Ще на цю тему

Ülesanded B

Ülesanne 863. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 864. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 865. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 866. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 867. Funktsiooni tuletise väärtus

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Ülesanne 869. Funktsiooni tuletis

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusunurk ja võrrand