Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”
Пример 1.
Рассмотрим бросание игральной кости, и пусть событие А заключается в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении не менее, чем четырех очков.
Благоприятствующими событию А являются элементарные события, заключающиеся соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков, а событию B – выпадение 4, 5 и 6 очков. Если в результате бросания игральной кости выпадет 4 или 6 очков, то одновременно произойдут как событие A, так и событие B. Так как выражение «как ..., так и ...» в силу приобретенного опыта указывает на произведение, то и говорят, что выпадение 4 или 6 очков есть произведение событий А и В.
Произведением[понятие: Произведение событий (sündmuste korrutis) – событие, состоящее в совместном появлении данных событий 𝐴 и 𝐵. Обозначение: 𝐴∩𝐵 или 𝐴𝐵.] двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.
Итак, одновременное осуществление двух событий A и B можно рассматривать как новое событие C, которое называется произведением событий A и B (рис. 1.6), что записывается в виде C = A ∩ B или C = AB.
Изобразим графически события А и В (рис. 1.6). Поскольку нам не нужно выделять отдельные частные случаи (элементарные события), то событием А будем считать такое, при котором случайно брошенная на рисунок точка (например, очень маленькая металлическая «пылинка») попадет в область А. Если брошенная точка упадет в область В, то будем считать, что произошло событие В. Если же точка попадет в общую часть, или пересечение С областей А и В, то осуществляется произведение событий А и В, т. е. A ∩ B.
Рис. 1.6
|
||||||
Пример 2.
Пусть событием А является появление крестовой карты, а событием В – появление картинки при извлечении наугад одной карты из колоды в 36 карт. Найдем вероятность произведения событий А и В.
Так как событие АВ означает появление картинки крестовой масти, то оно состоит из трех благоприятствующих исходов: крестовый король, крестовая дама и крестовый валет. Искомая вероятность
Если у событий А и В нет общих благоприятствующих элементарных событий (например, А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков при бросании игральной кости), то произведением этих событий является невозможное событие (число благоприятствующих возможностей k = 0), т. е. A ∩ B = ∅.
Рис. 1.7
|
||||||
Два события называются несовместными[понятие: Несовместные события (teineteist välistavad sündmused) – два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в том же испытании, т. е. они не могут произойти одновременно.], если появление одного из них исключает появление другого в том же испытании, т. е. они не могут произойти одновременно.
Таким образом, события А и В несовместны, если их произведение является невозможным событием , т. е. AB = ∅ (рис. 1.7).
События, рассмотренные в примере 2, не являются несовместными.
Событие А и противоположное ему событие
Для каждого события все элементарные события (E1, E2, …, En) попарно несовместны. В краткой записи: EiEj = V, если i ≠ j.
Сумма[понятие: Сумма двух событий (kahe sündmuse summa) – суммой двух событий 𝐴 и 𝐵 называется событие, состоящее в появлении события 𝐴, или события 𝐵, или обоих этих событий. Обозначение: 𝐴∪𝐵 или 𝐴+𝐵.] двух событий определяется так:
суммой двух событий A и B называется событие А + В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Сумма событий А и В обозначается, кроме символа А + В, также символом A ∪ B.
Cумму событий А и В можно изобразить графически (закрашенная область) в случае несовместных событий на рисунке 1.8 и в случае событий, не являющихся несовместными, на рисунке 1.9. В последнем случае, как видно из рисунка, сумма событий А + В содержит и их произведение АВ.
Рис. 1.8
|
||||||
Пример 3.
Пусть событием А является выпадение 1 очка, а событием В – выпадение 6 очков при бросании игральной кости. Тогда событие А + В заключается в выпадении либо 1, либо 6 очков. Соответствующая вероятность
Рис. 1.9
|
||||||
Так как для множества всех элементарных событий {E1, E2, …, En} при каждом испытании осуществляется одно из элементарных событий, то
E1 + E2 + … + En = Ω.
То же справедливо и для событий A и
Упражнения
AB ?A+B ?
AΩ =
A∅ =
A + Ω =
A + ∅ =
В чем заключаются события
- A + B?
- B + C?
- C + D?
- AD?
- CD?
