Harjutusülesanded. Võrrandid

Ülesanne 1

Kui ruudu ühte külge vähendada kuue meetri võrra ja teist suurendada kolme meetri võrra, siis saadakse ristkülik, mille pindala on ruudu pindalast 37,5% võrra väiksem. Leia selle ruudu külg a.

Koosta teksti järgi võrrand
Ruutvõrrand
Võrrandi lahendid (x₁ < x₂)

Vastus

Ruudu külg on m.

Lahendus

Koosta võrrand, kus ruudu külg a meetrit on tundmatu ja ruudu pindala on a² ruutmeetrit.
Kui ruudu külge vähendada kuue meetri võrra, siis on saadud ristküliku külg a – 6 meetrit.
Kui ruudu külge suurendada kolme meetri võrra, siis on saadud ristküliku külg a + 3 meetrit.
Ristküliku pindala on seega (a – 6)(a + 3).
Kuna ristküliku pindala on ruudu pindalast väiksem 37,5% võrra, siis moodustab ta ruudu pindalast 62,5%.
Koostame võrrandi:0,625a² = (a – 6)(a + 3)
Lahendame võrrandi0,625a² = a² + 3a – 6a – 180,625a² = a² – 3a – 180,375a² – 3a – 18 = 0a₁ = –4a₂ = 12
Võime lahendada ka taandatud ruutvõrrandia² – 8a – 48 = 0

Kuna ruudu külg ei saa olla –4 meetrit, siis on ainuke õige vastus 12. Kontrolli, kas see on õige tulemus!

Ще на цю тему

Ülesanne 2

Kolm salatit (s) ja neli jooki (j) maksavad puhvetis kokku 24 eurot ja 90 senti. Neli salatit ja kolm jooki aga kokku 28 eurot ja 30 senti. Mitu eurot tuleb kokku maksta ühe salati ja ühe joogi eest?

Koosta võrrandisüsteem

${$
${$

Võrrandisüsteemi lahendid

${$	s =
${$	j =

Vastus

Ühe salati ja ühe joogi hind on kokku eurot.

Lahendus

Kui ühe salati hind on s ja joogi hind j eurot, siis saame võrrandisüsteemi
$\{\begin{cases} 3 s + 4 j = 24,9 \\ 4 s + 3 j = 28,3 \end{cases}$
Lahenda võrrandisüsteem asendus- või liitmisvõttega.
Asendusvõtte korral avalda näiteks esimesest võrrandist j:
4j = 24,9 – 3s
j = 6,225 – 0,75s
ja asenda see teise võrrandisse:
4s + 3(6,225 – 0,75s) = 28,3
4s + 18,675 – 2,25s = 28,3
1,75s = 9,625
s = 5,5 ja
j = 6,225 – 0,75 ⋅ 5,5 = 2,1
Seega lahendid on $\{\begin{cases} s = 5,5 \\ j = 2,1 \end{cases} .$ Kontrolli, kas need on õiged tulemused!

Järelikult on ühe salati ja ühe joogi hind kokku 5,5 + 2,1 = 7,6 eurot.

Ще на цю тему

Ülesanne 3

\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}=\frac{9}{x^2+3x+2}

Vihje

Vii kõik võrrandi liikmed ühele poole ja võrdsusta avaldis nulliga. Samal ajal tegurda nimetajas olev ruutkolmliige.

x^2+3x+2=

Vihje

Teisenda murrud ühenimelisteks ja vii võrrandi liikmed ühisele murrujoonele.

Vihje

Murd võrdub nulliga siis, kui tema lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja on nullist erinev.

Vastus

(x₁ < x₂)

Lahendus

Vii kõik võrrandi liikmed ühele poole ja võrdsusta avaldis nulliga. Samal ajal tegurda nimetajas olev ruutkolmliige.\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}-\frac{9}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0
Teisenda murrud ühenimelisteks ja vii võrrandi liikmed ühisele murrujoonele.\frac{4x-6^{\ |x+1}}{x+2}-\frac{x^{\ |x+2}}{x+1}-\frac{9}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0\frac{\left(4x-6\right)\left(x+1\right)-x\left(x+2\right)-9}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=0\frac{4x^2+4x-6x-6-x^2-2x-9}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=0\frac{3x^2-4x-15}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=0
Murd võrdub nulliga siis, kui tema lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja on nullist erinev.3x² – 4x – 15 = 0x₁ = 3x_2=-\frac{5}{3}(x + 2)(x + 1) ≠ 0x ≠ –2, x ≠ –1Kontrolli mõlemat lahendit!
Võrrandi lahendid on:x₁ = 3x_2=-\frac{5}{3}

Ще на цю тему

Ülesanne 4

\left(0,25\cdot4^x\right)^x=\left(2^{x+3}\right)^2

Vihje

Teisenda kõik tegurid arvu kaks astmeteks.

Teisendatud tegurid
Saadud ruutvõrrand

Vastus

(x₁ < x₂)

Lahendus

Teisenda kõik tegurid arvu kaks astmeteks.0,25=\frac{1}{4}=2^{-2}4^x = 2^2x\left(2^{-2}\cdot2^{2x}\right)^x=\left(2^{x+3}\right)^2\left(2^{2x-2}\right)^x=\left(2^{x+3}\right)^2
Edasi kasuta reeglit: astme astendamisel astendajad korrutatakse.2^{2x^2-2x}=2^{2x+6}
Võrdsete astmete korral, kui alused on võrdsed, siis peavad võrduma ka astendajad.2x² – 2x = 2x + 6
Nüüd lahenda saadud ruutvõrrand.2x² – 4x – 6 = 0x² – 2x – 3 = 0x₁ = –1, x₂ = 3
Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid sobivad järelikult on võrrandil kaks lahendit.x₁ = –1 ja x₂ = 3

Ще на цю тему

Ülesanne 5

log₂(x² – 5x + 6 = log₂(x – 2) + 1

Vihje

Üks võimalik lahendus:1. Vii logaritmi sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poolele ja kasuta logaritmi omadust

log a - log b = log (\frac{a}{b})

2. Nüüd kasuta logaritmi definitsiooni

{log}_{a} = c \Rightarrow a^{c} = b

3. Lahenda murdvõrrand

Saadud ruutvõrrand
Ruutvõrrandi lahendid (x₁ < x₂)
x₁ =
x₂ =
NB! Logaritmvõrrandi lahendeid peab kindlasti kontrollima!

Vastus

x =

Lahendus

Üks võimalik lahendus:

Vii logaritmi sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poolele ja kasuta logaritmi omadust \log\left(a\right)-\log\left(b\right)=\log\left(\frac{a}{b}\right).
log₂ (x² – 5x + 6) – log₂ (x – 2) = 1
\log_2\frac{x^2-5x+6}{x-2}=1
Nüüd kasuta logaritmi definitsiooni log_a (b) = c ⇒ a^c = b:
\frac{x^2-5x+6}{x-2}=2
Saadud murdvõrrandi võib lahendada võrde põhiomadust kasutades tingimusel, et x ≠ 2.x² – 5x + 6 = 2x – 4
x² – 7x + 10 = 0
x₁ = 2
x₂ = 5
Esimene lahenditest ei sobi, sest ei kuulu murdvõrrandi määramispiirkonda.
Kontrollime teist lahendit.
NB! Logaritmvõrrandi lahendeid peab kindlasti kontrollima!
Kontroll:
vp = log₂ (5² – 5 ⋅ 5 + 6) = log₂ (6) = = log₂ (3 ⋅ 2) = log₂ (3) + 1
pp = log₂ (5 – 2) + 1 = log₂ (3) + 1
vp = pp
Võrrandi lahend on x = 5.

Ще на цю тему

Ülesanne 6

\sqrt{5-4x}=x+4 ja \sqrt{x^2-6x}=\sqrt{10-3x}

Vihje

Juurvõrrandi lahendamisel tuleb võrrandi mõlemad pooled astendada astendajaga, mis juurest vabastaks. Siin ülesandes arvuga kaks.

Esimene võrrand saab pärast astendamist kuju .
Teine võrrand saab kuju .
Korrastatud ruutvõrrandid ja lahendid (x₁ < x₂)
1. ruutvõrrand
2. ruutvõrrand
Juurvõrrandi lahendid kuuluvad hulka .

Vastus

Lahendite summa on .

Lahendus

Juurvõrrandi lahendamisel tuleb võrrandi mõlemad pooled astendada astendajaga, mis juurest vabastaks. Siin ülesandes arvuga kaks.

Esimene võrrand saab pärast astendamist kuju 5 – 4x = x² + 8x + 16.
NB! Ära unusta, et hulkliikmete astendamisel peab kasutama korrutamise abivalemeid!
Teine võrrand saab kuju x² – 6x = 10 – 3x.
Korrastame ruutvõrrandid ja lahendame.
1. 5 – 4x = x² + 8x + 16
  x² + 12x + 11 = 0
  x₁ = –11
  x₂ = –1
  Lahend x₁ = –11 on võõrlahend.
2. x² – 6x = 10 – 3x
  x² – 3x – 10 = 0
  x₁ = 5
  x₂ = –2
  Lahend x₁ = 5 on võõrlahend.
Kontrollimisel selgub, et lahendid –1 ja –2 rahuldavad vastavalt esimest ja teist võrrandit.
Järelikult on antud võrrandite lahendite summa –1 + (–2) = –3.

Ще на цю тему

Ülesanne 7

x² – (4p + 3)x + 3p² + 3p = 0

Vihje

Ruutvõrrandil on üks lahend, kui diskriminant
D = b²–4ac on võrdne nulliga.

Ruutvõrrand

Vastus

Lahendus

Tegemist on parameetrit sisaldava ruutvõrrandiga, kus
a = 1,
b = – (4p +3),
c = 3p² + 3p.
Ruutvõrrandil on üks lahend, kui diskriminant D = b² – 4ac on võrdne nulliga. Lahendame võrrandi[– (4p + 3)]² – 4 ⋅ 1 ⋅ (3p² +3p) = 0.16p² + 24p + 9 – 12p² – 12p = 0
4p² + 12p + 9 = 0
Kui p = –1,5, siis on antud ruutvõrrandil üks lahend (kaks võrdset lahendit).

Ще на цю тему

Ülesanne 8

Rattamatkajate seltskond pidi külasse jõudmiseks valima kahe tee vahel. Mööda siledat maanteed oli vaja sõita 16 km, aga läbi liivase metsatee vaid 10 km. Grupp jagunes kaheks. Pikema tee valinud ratturite keskmine kiirus oli kaks korda suurem kui liivasel teel sõitjate kiirus ning nad jõudsid sihtpunkti kümme minutit varem. Kui kiiresti sõitsid keskmiselt mõlema grupi ratturid ja kaua sõit kestis?

Vastus

Kiiremate ratturite kiirus oli: \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Lühema tee valinute kiirus oli: \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Kiiremate ratturite aeg minutites: minutit
Aeglasemate ratturite aeg minutites: minutit

Lahendus

Tähistame pikema tee valinute kiiruse tähega x\ \left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right], siis neil kulub sõiduks aega t_1=\frac{16}{x} tundi.
Kuna aeglasemate ratturite kiirus on kaks korda väiksem, on nende kiirus 0,5x\ \left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right] ja aeg t_2=\frac{10}{0,5x}.
Kuna ratturite sõiduaegade erinevus oli 10\ \mathrm{\min}\ =\frac{1}{6}\ \mathrm{h}, siis peame lahendama võrrandi
t_2-t_1=\frac{1}{6}
\frac{10}{0,5x}-\frac{16}{x}=\frac{1}{6}
Lahendame võrrandi
\frac{20-16}{x}=\frac{1}{6}
x = 24
Kui kiiremate ratturite kiirus oli 24\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}, siis teiste kiirus oli kaks korda väiksem, \frac{24}{2}=12\ \left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right].
Sõiduajad olid:t_1=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\ \left[\mathrm{h}\right]=40\ \left[\mathrm{\min}\right]
t_2=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\ \left[\mathrm{h}\right]=50\ \left[\mathrm{\min}\right]
Ratturite kiirused olid 24\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} ja 12\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} ning sõiduajad 40 min ja 50 min.

Ще на цю тему

Ülesanne 9

Stella, kes tunni ajal pastakaga lauda sodis, sai ülesandeks pärast koolipäeva lõppu kogu klassi lauad puhtaks küürida. Tal kulus selleks veidi vähem kui tund. Järgmisel nädalal jäi juba mitmendat korda lauaplaadi sodimisega vahele Moona, kellel tänu pikale praktikale kulub kõikide klassis olevate laudade küürimiseks 0,15 tundi vähem kui Stellal. Moonale otsustas appi tulla Stella, et koos töö kiiremini valmis saada. Koos said tüdrukud tööga hakkama kahekümne minutiga. Kui kaua oleks aega läinud mõlemal üksi töötades, kui arvestada eelneva kogemusega?

Vihje

Kui Stellal kulus laudade puhastamiseks x minutit, siis teeks ta ühe minutiga puhtaks 1/x laudadest.

Kuna Moona töötab Stellast kiiremini, siis teeks ta kogu klassi lauad puhtaks
x – 9 minutiga (0,15 h = 9 min).

Kuna koos kuluks tüdrukutel laudade küürimiseks aega 20 minutit, siis ühe minutiga saaksid nad puhtaks 1/20 laudadest.

Vastus

Stellal kuluks üksi töötades minutit.
Moonal kuluks üksi töötades minutit.

Lahendus

Oletame, et Stellal kulus laudade puhastamiseks x minutit, siis teeks ta ühe minutiga puhtaks \frac{1}{x} laudadest.
Kuna Moona töötab Stellast kiiremini, siis teeks ta kogu klassi lauad puhtaks x – 9 minutiga (0,15 h = 9 min).
Kuna koos kuluks tüdrukutel laudade küürimiseks aega 20 minutit, siis ühe minutiga saaksid nad puhtaks \frac{1}{20} laudadest. Stella ja Moona koos töötamist kirjeldab võrrand:
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-9}=\frac{1}{20}
Lahenda murdvõrrand \frac{1}{x}+\frac{1}{x-9}=\frac{1}{20}.
Seda võib teha näiteks võrde põhiomadust kasutades tingimusel, et x ≠ 0, x ≠ 9.
\frac{x-9+x}{x\left(x-9\right)}=\frac{1}{20}
\frac{2x-9}{x^2-9x}=\frac{1}{20}
x² – 9x = 20 (2x – 9)
x² – 9x = 40x – 180
x² – 49x + 180 = 0
x₁ = 45
x₂ = 4
Kui Stella teeks kogu töö ära 45 minutiga, siis Moonal läheks aega 45 – 9 = 36 minutit. Ühe minutiga teeksid nad ära\frac{1}{45}+\frac{1}{36}=\frac{9}{180}=\frac{1}{20}
tööst. See tähendab, et kogu töö tegemiseks kuluks kakskümmend minutit.
Aeg x₂ = 4 minutit ei sobi, sest siis töötaks Moona 4 – 9 = –5 minutit.

Ще на цю тему

Riigieksami ülesandeid

Lahendage võrrand 2x-4=\sqrt{x^2-x+4}.

Ruutvõrrand
x₁ =
x₂ =

Vastus

Juurvõrrandi lahend x =

Ott võitis autoralli etapi, mille pikkuseks oli 13,2 km. Selle etapi läbimiseks kulus Otil 8 sekundit vähem kui Markol, kelle keskmine kiirus oli Oti keskmisest kiirusest 2\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} võrra väiksem.

Leidke Oti keskmine kiirus sellel etapil.
Millise ajaga läbis etapi Marko? Vastus esitage minutites ja sekundites.

Vastused

Oti kiirus oli km/h.
Marko läbis distantsi ajaga minutit ja sekundit.

Neljakümne seitsmenda Tartu maratoni raja pikkus oli 63 km. Tarvol kulus selle distantsi läbimiseks 3 tundi 56 minutit ja 15 sekundit. Arvutage Tarvo keskmine kiirus.
Robin läbis 63 km pikkuse distantsi keskmiselt 6 km tunnis rohkem kui Ott ning jõudus finišisse 1 tund ja 21 minutit varem. Leidke Oti ja Robini keskmised liikumiskiirused.

Vastused

Tarvo keskmine kiirus oli km/h.
Oti keskmine kiirus oli km/h ja Robini keskmine kiirus km/h.

Lahendage võrrandid.

\log_2\left(\frac{1}{6}x^2-2\right)=2\log_2x-\log_29
\left(\frac{2}{3}\right)^x\cdot\left(2\frac{1}{4}\right)^{x-1}=1,5

Vastused

x =
x =

Aprillis oli aianduskaupluses õuna- ja pirnipuude istikute eripakkumine: vähemalt 10 õunapuuistiku ostmisel oli ühe istiku hind 20% võrra tavahinnast madalam ja vähemalt 10 pirnipuuistiku ostmisel oli ühe istiku hind \frac{1}{4} võrra tavahinnast madalam. Ühe pirnipuuistiku tavahind oli 3 euro võrra kallim kui kirsipuuistiku hind.

Urmas ostis 15 õunapuuistikut, 3 pirnipuuistikut ja 4 kirsipuuistikut ning maksis kokku 392 eurot. Margus ostis 8 õunapuuistikut, 16 pirnipuuistikut ja 2 kirsipuuistikut ning maksis kokku 450 eurot. Arvutage ühe õuna-, pirni- ja kirsipuuistiku tavahind.
Kui palju oleks kogu kaup maksnud siis, kui Urmas ja Margus oleksid teinud ühise ostu?

Vastused

Tavahinnaga õunapuuistik maksis eurot, pirnipuuistik eurot ja kirsipuuistik eurot.
Ühise ostu korral oleks summa olnud eurot ja senti.

Kui firma kulutab teadusuuringuteks x miljonit eurot, siis selle firma puhaskasum on k(x) miljonit eurot, kus k(x) = 9 + 5log₂(x + 1) – x.

Kui suur on selle firma puhaskasum, kui teadusuuringutele ei kulutata ühtegi eurot?
Kas firma puhaskasum on suurem siis, kui ta kulutab teadusuuringuteks 7 miljonit eurot, või siis, kui ta kulutab 15 miljonit eurot? Põhjendage oma vastust.
Kui firma suurendaks teadusuuringuteks esialgu planeeritud summat x miljonit eurot nelja miljoni euro võrra, siis kasvaks puhaskasum k(x) ühe miljoni euro võrra. Kui suure summa planeeris firma esialgu teadusuuringuteks kulutada?

Vastused

Puhaskasum on miljonit eurot.
Puhaskasum on suurem siis, kui teadusuuringuteks kulutadaeurot, sest
k(7) =
k(15) =
Firma planeeris teadusuuringuteks esialgu miljonit eurot.

Ristküliku ühe külje pikkus on \sqrt{x+1}\mathrm{\ cm} ja diagonaali pikkus on \sqrt{x+50}\ \mathrm{cm.} Arvutage ristküliku pindala, kui selle ümbermõõt on x cm.

Ristküliku teine külg on cm.
x =

Vastus

Ristküliku pindala on cm².

Tallinnast Narva on mööda maanteed 210 km. Peetril kulus sõiduks Tallinnast Narva ja tagasi kokku 5 tundi, kusjuures tagasiteel oli tema auto keskmine kiirus 20% võrra suurem. Leidke Peetri auto keskmine kiirus Tallinnast Narva sõites.

Vastus

Peetri auto keskmine kiirus oli \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.

Lahendage võrrand \log\left(36-x^3\right)-\log6=2+\log\frac{1}{6}.

Vastus

Lahendage võrrand 2^x\cdot\left(2^{x+1}-5\cdot2^x+96\right)=0.

Vastus

x =

Lahendage võrrand

log₂(x + 3) + log₂(x – 4) = 3log₂2.

Ruutvõrrand

Vastus

x =

Lahendage võrrand
log₄(4,5 – 3x) = log₄4,5 – log₄3x
- Ruutvõrrand
On antud funktsioon
f(x) = log₄(4,5 – 3x)
Millise parameetri a väärtuse korral on võrrandi 2f (x + a) = 1 lahend x = 0,5?

Vastused

x₁ = , x₂ =

Kui suure rasvasisaldusega koor saadi, kui segati 300 ml 10% rasvasisaldusega koort ja 200 ml 35% rasvasisaldusega koort?
- Rasva kokku ml
Kui palju tuleb võtta 10% rasvasisaldusega koort ja kui palju 35% rasvasisaldusega koort, et nende segamisel saada 800 ml 25% rasvasisaldusega koort?

Vastused

Kahe koore segamisel saadi % rasvasisaldusega koor.
Lahjemat koort tuleb võtta ml, rammusamat koort ml.

Väikses tõlkebüroos töötab kolm inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja.

Kui tõsta tõlgi palka 30% ja toimetaja palka 20% võrra, siis oleks nende palkade summa 2400 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 20% ja toimetaja palka 30% võrra, siis oleks nende palkade summa 2350 eurot. Arvutage tõlgi ja toimetaja palk.
Kõikide töötajate palkade summa on 4000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast?

Vastused

Tõlgi palk on eurot, toimetaja palk on eurot.
Juhataja palk on tõlgi palgast %.

Lahendage võrrandid

16^{x+5}=\sqrt{32}
\log_2\left(x+5\right)+\log_25=2\log_2\left(x-5\right)
- Ruutvõrrand

Vastused

Ще на цю тему

Послугу здійснює Star Cloud OÜ

Приєднайтесь до Opiq

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Harjutus­ülesanded. Võrrandid

Ще на цю тему

Ülesanne 1

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 2

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 3

Vihje

Vihje

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 4

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 5

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 6

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 7

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 8

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Ülesanne 9

Vihje

Vastus

Lahendus

Ще на цю тему

Riigieksami ülesandeid

Vastus

Vastused

Vastused

Vastused

Vastused

Vastused

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastused

Vastused

Vastused

Vastused

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie

Harjutusülesanded. Võrrandid