Harjutusülesanded. Integraal

Ще на цю тему

Ülesanne 1

Leia funktsiooni algfunktsioon F (x), mis läbib punkti P (2; 5).f\left(x\right)=\frac{x^2-10x+21}{x-3}

C =

Vihje

Lihtsusta kõigepealt integreeritavat murdavaldist.

Vastus

Algfunktsioon on .

Lahendus

Lihtsusta kõigepealt integreeritavat murdavaldist. $\frac{x^{2} - 10 x + 21}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x - 7)}{x - 3} = x - 7$
Nüüd integreeri saadud avaldis.
\int \left(x-7\right)\mathrm{d}x==\int x\ \mathrm{d}x+\int -7\mathrm{d}x==\frac{x^2}{2}-7x+C
Kuna saadud funktsiooni graafik läbib punkti P(2; 5), leiame konstandi C väärtuse.5=\frac{2^2}{2}-7\cdot2+CC = 17
Algfunktsioon F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-7x+17

Ще на цю тему

Ülesanne 2

Tasandil on parabool y = x² + 2x + 5, sellele paraboolile kohal x₀ = –2 tõmmatud puutuja ja sirge x = 1. Leia nende joontega piiratud kujundi pindala. Skitseeri joonis.

Puutuja võrrand
Integreeritav lõppavaldis määramata integraalina

Vihje

1. Koosta puutuja võrrandi punkti ja tõusu järgi. 2. Kujundi pindala arvutamiseks tuleb parabooli alusest pindalast lahutada puutuja alune pindala lõigu [–2; 1] ulatuses.

Joonisel on parabool y = x² + 2x + 5, selle puutuja ja sirge x = 1.

Vastus

Kujundi pindala on ruutühikut.

Lahendus

Arvutame vajalikud andmed puutuja võrrandi jaoks.Puutepunkti ordinaat y₀ = (–2)² + 2 ⋅ (–2) + 5 = 5.Puutuja tõus on k = y′ (x₀).y′ = 2x + 2k = 2 ⋅ (–2) + 2 = –2
Koostame puutuja võrrandi punkti ja tõusu järgi.y – 5 = –2 (x + 2)y = –2x + 1
Kujundi pindala arvutamiseks peame parabooli alusest pindalast lahutama puutuja aluse pindala lõigu [–2; 1] ulatuses. Integraali rajad on selle lõigu otspunktid a = –2, b = 1.
Pindala määratud integraali vahenaS=\int_{-2}^1\left(x^2+2x+5\right)\mathrm{d}x--\int_{-2}^1\left(-2x+1\right)\mathrm{d}x==\int_{-2}^1\left(x^2+4x+4\right)\mathrm{d}x= $= {\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x|}_{- 2}^{1}$
Arvutame määratud integraali
S=\frac{1^3}{3}+2\cdot1^2+4--\left[\frac{\left(-2\right)^3}{3}+2\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)\right]=9 (ruutühikut)

Ще на цю тему

Ülesanne 3

Leia kujundi pindala, kui seda piiravad järgmised jooned:

hüperbool y=\frac{4}{x};
sirge, mille sihivektor on \vec{s}=\left(1;\ 3\right) ning läbib punkti (–3; –8);
- sirge võrrand
- sirge ja hüperbooli lõikepunkt
jooned x = 0, y = 0 ja x = e.

Pindalad

trapetsi lühem alus ja pikem alus ning kõrgus ühikut
trapetsi pindala ruutühikut
kõvertrapetsi määramata integraal
alumine raja
ülemine raja

Vihje

1. Alusta joonisest, siis on näha, kuhu kujund tekib. Sirge saad joonestada punkti ja sihivektori abil.2. Selle kujundi pindala koosneb kahes osast: täisnurkse trapetsi pindalast S₁ ja kõvertrapetsi pindalast S₂. Täisnurkse trapetsi pikem haar läbib sirge ja hüperbooli lõikepunkti, mille koordinaatide leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem. 3. Trapetsi pindala võib integreerimise asemel leida trapetsi pindala valemit kasutades.

Vastus

Kujundi pindala on ruutühikut.

Joonis

Lahendus

Alusta joonisest, siis on näha, kuhu kujund tekib. Sirge saad joonestada punkti ja sihivektori abil.\frac{x-x_1}{s_1}=\frac{y-y_1}{s_2}\frac{x-\left(-3\right)}{1}=\frac{y-\left(-8\right)}{3}y = 3x + 1
Selle kujundi pindala koosneb kahest osast: täisnurkse trapetsi pindalast S₁ ja kõvertrapetsi pindalast S₂. Täisnurkse trapetsi pikem haar läbib sirge ja hüperbooli lõikepunkti, mille koordinaatide leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem.Lahenda võrrandisüsteem $\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$
Asendusvõttega lahendades saame ruutvõrrandi, mille lahendid on x_1=-\frac{4}{3},x₂ = 1. Nendele vastavad y-koordinaadid on y₁ = –3, y₂ = 4. Graafikute lõikepunktidest \left(-\frac{4}{3};\ -3\right), (1; 4) sobib viimane.
Täisnurkse trapetsi pindala võime arvutada integreerides, aga lihtsam on siin kasutada trapetsi pindala valemit S=\frac{a+b}{2}\cdot h (trapetsi aluste poolsumma ja kõrguse korrutis).S_1=\frac{4+1}{2}\cdot1=2,5 (ruutühikut)
S₂ saame integreerides funktsiooni y=\frac{4}{x} rajast 1 rajani e. $S_{2} = \int_{1}^{e} \frac{4}{x} d x = 4 \ln |x|_{1}^{e} =$ = 4ln (e) – 4ln (1) = 4 (ruutühikut)
Kõvertrapetsi pindala S = 2,5 + 4 = 6,5 (ruutühikut)

Ще на цю тему

Riigieksami ülesandeid

Kujund on piiratud y-teljega, parabooliga y = –0,5x² + 2x + 2,5 ja sirgega y = 7 – x.

Tehke joonis ja viirutage kirjeldatud kujund.
Arvutage selle kujundi täpne pindala.

Vastus

Selle kujundi täpne pindala on ruutühikut.

Joonis

Joonisel on funktsioonide y = 0,25x² ja y=2-\frac{1}{4}x^2 graafikud.Viirutage antud funktsioonide graafikutega piiratud kujund ja arvutage selle kujundi pindala.

Vastus

Kujundi pindala on ruutühikut.

Kujundit piiravad jooned y = x² – 6, y = x² – 2x, x = –1.

Tehke joonis ja viirutage antud joontega piiratud kujund.
Sirge y = –2 jaotab kujundi kaheks osaks. Arvutage mõlema osa pindala.

Vastused

Pindalad on ja pindalaühikut.

Joonisel on funktsioonide f (x) = 1,5 sin x ja g (x) = πx – x² graafikud lõigul [0; π].

Leidke joonise abil, kumma funktsiooni väärtused on vahemikus (0; π) suuremad. Lohistage joonisele nende funktsioonide tähised.
Arvutage integraal \int_0^{\pi}\left(1,5\sin x\right)dx.Valige kujund, mille pindala selle integraali abil leidsite.