Harjutus­ülesanded. Planimeetria

Ще на цю тему
Інші дії

Ülesanne 1

Kolmnurga ABC küljed on 5,2 m, 6,3 m ja 7,4 m.

  1. Leia selle kolmnurga suurim nurk γ. Vastus ümarda kümnendikeni.
Vihje
Suurim nurk on pikima külje vastas. Selle leidmiseks kasuta koosinusteoreemi ja lahenda võrrand.
  1. Leia selle kolmnurga vähim nurk β. Vastus ümarda kümendikeni.
Vihje
Kuna küljed ja üks nurk on teada, saame teise nurga arvutamiseks kasutada siinusteoreemi. Arvesta, et vähim nurk on lühima külje vastas.
Võid ka selle nurga leidmiseks kasutada koosinusteoreemi.
Vastused
  1. γ ≈ °
  2. β ≈ °
Lahendus
    1. Suurim nurk on pikima külje vastas. Selle leidmiseks kasutame koosinusteoreemi.
      7,42 = 6,32 + 5,22–
      ​– 2 ⋅ 5,2 ⋅ 6,3 ⋅ cos γ
    2. Lahenda võrrand.
      54,76 = 39,69 + 27,04 – 65,52 cos γ ​​–11,97 = –65,52 cosγ
      ​\cos\mathrm{\gamma}=\frac{11,97}{65,52}
      ​\mathrm{\gamma}=\arccos\left(\frac{11,97}{65,52}\right)\approx79.5\degree
  2. Kuna küljed ja üks nurk on teada, saame teise nurga arvutamiseks kasutada siinusteoreemi. Arvestame, et vähim nurk on lühima külje vastas.
    \frac{7,4}{\sin79,5\degree}=\frac{5,2}{\sin\mathrm{\beta}}
    \sin\mathrm{\beta}=\frac{5,2\cdot\sin\left(79,5\degree\right)}{7,4}
    ​​\mathrm{\beta}=\arcsin\left(\frac{5,2\cdot\sin\left(79,5\degree\right)}{7,4}\right)\approx43.7\degree
Ще на цю тему
Інші дії

Ülesanne 2

Rööpküliku küljed on 8,0 dm ja 10 dm ning üks nurk 58°.

  1. Leia rööpküliku kümnendikeni ümardatud diagonaalid.
Vihje
Lühem diagonaal leia koosinusteoreemiga.
Pikema diagonaali saab eida rööpküliku külgede ja diagonaalide vahelise seose kaudu või koosinusteoreemiga, leides esmalt rööküliku teise nurga.
  1. Kui pikkadeks lõikudeks x ja y jaotab rööpküliku teravnurga poolitaja lühema diagonaali? Vastused anna sentimeetrites ja ümarda kümnendikeni.
Vihje
Kasuta kolmnurga nurgapoolitaja omadust: kolmnurga nurgapoolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed.
Vastused
  1. Diagonaalid
    d1 ≈  dm
    d2 ≈  dm
  2. Nurgapoolitaja jaotab diagonaali osadeks
    x ≈  cm
    y ≈  cm
Lahendus
    1. Lühema diagonaali leiame koosinusteoreemiga.
      d12 = 82 + 102 –​ 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ cos 58°d12 = 64 + 100 –​ 160 ⋅ cos 58°
      ​d12 ≈ 79,21
      ​d1 ≈ 8,9 dm
    2. Pikema diagonaali leiame rööpküliku külgede ja diagonaalide vahelise seose kaudu:
      2(a2 + b2) = d12 + d22​
      2(82 + 102) = 8,92 + d22
      d22 = 328 –​ 79,21
      d2 ​≈ 15,8 dm​​​
      ​Kasutada võib ka koosinus­teoreemi, kus nurgaks on
      ​180° – 58° = 122°​
    1. Kasuta kolmnurga nurga­poolitaja omadust: kolmnurga nurga­poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed.
      \frac{a}{b}=\frac{x}{y},
      kus a, b on kolmnurga küljed ja x, y vastavad lõigud kolmandal küljel.​​
    2. Nurgapoolitaja omadust kasutades saame võrrandisüsteemi
      8 10 = x y x = 8 , 9 - y
      \frac{8}{10}=\frac{8,9-y}{y}
      8y = 89 – 10y
      18y = 89
      y ≈ 4,94 dm = 49,4 cm
      ​​​​​x = 89 cm – 49,4 cm = 39,6 cm
Ще на цю тему
Інші дії

Ülesanne 3

Joonisel on nelinurk ABCD, mille diagonaal BD jaotab kujundi kaheks kolmnurgaks. Kolmnurk ABD on täisnurkne.

Nelinurga kohta on teada järgmised andmed:
AD = 8 cm, ∠ADC = 112°. Diagonaal BD jaotab nurga ∠ABC = 75° kaheks nurgaks ∠ABD ja ∠DBC, mis suhtuvad nagu 2:1.

  1. Leia nurgad ∠BCD, ∠ABD, ∠DBC ja ∠BDC.
Vihje
Nelinurga sisenurkade summa on 360°.
Koosta nurkade ABD ja DBC leidmiseks võrrand antud suhte alusel.
  1. Arvuta nelinurga ABCD küljed ja diagonaal. Tulemused ümarda kümnendikeni.
Vihje
1. Külgede AB ja BD leidmiseks kasuta täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelisi seoseid.
2. Küljed BC ja CD leia siinusteoreemi abil.
  1. Leia nelinurga ABCD pindala ruutsentimeetrites täpsusega 10–1.
  2. Mitme protsendi võrra on kolmnurga BCD pindala väiksem kolmnurga ABD pindalast? Ümarda kümnendikeni.
Vihje
1. Arvuta eraldi kolmnurkade ABD ja BCD pindalad ning liida tulemused.
2. Kolmnurga BCD pindala on kõige mugavam siin arvutada kolmnurga külgede ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega.
  1. Nelinurk ABCD kujutab maatükki kaardil mõõtkavaga 1:5000. Leia selle maatüki tegelik ümbermõõt meetrites ja pindala hektarites.
Vihje
Kaardimõõt tähendab sisuliselt sarnasutegurit ja sarnaste kujundite pindalade jagatis on võrdne sarnasusteguri ruuduga.
Vastused
  1. ∠BCD = °
    ∠ABD = °
    ∠DBC = °
    ∠BDC = °
  2. AB ≈  cm
    DB ≈  cm
    BC ≈  cm
    CD ≈  cm
  3. Nelinurga pindala on  cm2.
  4. Kolmnurga BCD pindala on kolmnurga ABD pindalast % võrra väiksem.
  5. Maatüki ümbermõõt on  meetrit ja pindala  hektarit.
Lahendus
    1. Nelinurga sisenurkade summa on 360°.
      ∠BCD = 
      = ​360° – 90° – 112° – 75° = 83°
    2. Selleks, et leida nurgad ∠ABD ja ∠DBC lahendame võrrandi:
      ​2k + 1k = 75
      k = 25​
      ​∠ABD = 2 ⋅ 25 = 50°​
      ​∠DBC = 25°​
      ∠BDC = 112° – ∠ADB ​
      ​∠ADB = 90° – ∠ABD =
      = 90° – 50° = 40°
      ​∠BDC = 112° – 40° = 72°​
    1. Külje AB ja diagonaali BD leiame täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelistest seostest:
      ​\tan50\degree=\frac{8}{AB}\Rightarrow
      ​\Rightarrow AB=\frac{8}{\tan50\degree}\approx6,7 (cm)
      ​\sin50\degree=\frac{8}{BD}\Rightarrow
      ​\Rightarrow BD=\frac{8}{\sin50\degree}\approx10,4 (cm)
    2. Küljed BC ja CD leiame siinus­teoreemi abil.
      \frac{10,4}{\sin83\degree}=\frac{BC}{\sin72\degree}=\frac{CD}{\sin25\degree}
      BC=\frac{10,4\cdot\sin72\degree}{\sin83\degree}\approx10,0 (cm)
      ​​​CD=\frac{10,4\cdot\sin25\degree}{\sin83\degree}\approx4,4 (cm)
  3. S_{ABD}=\frac{8\cdot6,7}{2}=26.8 (cm2)
    ​S_{BCD}=\frac{10,4\cdot10\cdot\sin25\degree}{2}\approx22,0 (cm2)
    ​S = 26,8 + 22 = 48,8 (cm2)
  4. Leiame, mitme protsendi võrra on 22 väiksem 26,8-st.
    ​\frac{22}{26,8}\cdot100\%\approx82,1\%
    ​100% – 82,1% = 17,9%
    1. P = AD + DC + CB +BA =​
      = 8 + 4,4 + 10,0 + 6,7 = 29,1 (cm)
      Vastavalt mõõtkavale korrutame selle 5000-ga:
      29,1 ⋅​ 5000 = 145500 (cm).​​​
      ​P =       1455 (m)
    2. Sarnaste kujundite pindalade jagatis võrdub sarnasusteguri ruuduga. Vastavalt mõõtkavale on selleks 50002.
      S = 48,8 ⋅ 50002 = 12,2 ⋅ 108 (cm2)
      ​​1 ha = 10000 m2 = 108 cm2​​​​ 
      S = 12,2 ha​
Ще на цю тему
Інші дії

Riigieksami ülesandeid

  1. Kolmnurga ABC küljed AB ja AC on vastavalt 25 cm ja 10\sqrt{7}\ \mathrm{cm} ning nende külgede vahelise nürinurga siinus on \frac{3}{4}. Leidke külje BC täpne pikkus.
  2. Kolmnurgas KLM on küljed KL ja KM vastavalt 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm} ja 6 cm. Nende külgede vahelise teravnurga siinus rahuldab seost 12 cos2 α + 5 sin α – 10 = 0. Arvutage kolmnurga KLM täpne pindala.
Vastused
  1. Külje BC täpne pikkus on  cm.
  2.  cm2

Teravnurkse kolmnurga ABC kaks külge on AB = 6 dm ja AC = 5 dm. Kolmnurga ABC pindala on võrdne sellise ruudu pindalaga, mille küljeks on kolmnurga tipust C joonestatud kõrgus CD. Arvuta nurk BAC.

  • h =  dm
Vastus

Nurga BAC suurus on ligikaudu  kraadi.

Täisnurkse kolmnurga tipp C(5; 4) asub ringjoonel, mille keskpunkt on A(1; 1). Selle kolmnurga ühe teravnurga tipp asub ringjoone kesk­punktis A ja teise teravnurga tipp B asub x-teljel.

  • ringi raadius  ühikut
  • sektori nurk °
  1. Arvutage punkti B koordinaadid ja joonestage kolmnurk ABC.
  2. Viirutage antud ringjoonega piiratud ringi ja kolmnurga ABC ühisosa ning arvutage selle ühisosa täpne pindala.
Vastused
  2.  pindala­ühikut

Kolmnurgas on külje AB pikkus 7 cm, külje BC pikkus 8 cm ja külje AC pikkus 9 cm. Küljel AC on valitud punkt D nii, et nurk ADB on kaks korda suurem nurgast ACB. Arvutage kolmnurga ABC pindala ja lõigu BD täpne pikkus.

  • ∠ACB ≈ °
Vastus

 cm2 (täpne või kümnendikeni ümardatud vastus)
BD =  cm

Nelinurga ABCD külg AD = 6 cm, külg CD = 10 cm ning küljed AB ja BC on võrdsed. Selle nelinurga sisenurk BCD on 30° ja sisenurk ADC on 240°. Arvutage nelinurga ABCD külg AB ja pindala. Lõpp­vastused ümardage kümnendikeni.

Vastus

AB ≈  cm
S ≈  cm2.

Ärimees peab lendama Tallinnast Sofiasse, mis asub Tallinnast 1860 km kaugusel. Otselende Tallinnast Sofiasse sel kuupäeval ei toimu ja ärimehel tuleb lennata ühe ümberistumisega kas Münchenis või Kiievis.

  1. On teada, et Tallinna ja Kiievi vahemaa on 1060 km ning nurk Kiievi-Tallinna ja Kiievi-Sofia lennuliinide vahel on 126,9° (vaata joonist). Arvutage Kiievi ja Sofia vahemaa (vastus andke täpsusega 10 km).
  2. Kui lennata Müncheni kaudu, siis tuleb kõigepealt lennata 1520 km Münchenisse ja sealt edasi 1100 km Sofiasse. Arvutage Müncheni ja Kiievi vahemaa (vastus andke täpsusega 10 km).
Vastused
  1. Kiievi ja Sofia vahemaa on ligikaudu  kilomeetrit.
  2. Müncheni ja Kiievi vahemaa on ligikaudu  kilomeetrit.

Kolmnurkse maatüki ABC külg AB on 237 m ja külg AC on 470 m. Nurk antud külgede vahel on 112°.

  1. Arvutage maatüki kolmas külg BC meetrites (ümardage ühelisteni) ja maatüki pindala hektarites (ümardage sajandikeni).
  2. Soovitakse rajada teelõik maatüki tipust A külje BC keskpunktini. Kui pikk teelõik meetrites (ümardage ühelisteni) tuleks rajada?
Vastused
  1. BC ≈  m
    SABC ≈  ha.
  2. Tuleks rajada  meetri pikkune teelõik.

Õpilane Mari joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil kolmnurga ABC. Kolmnurga külg BC oli pikkusega 10 cm ja selle külje lähisnurgad olid ∠ACB = 25° ja ∠ABC = 50°. Mari joonestas küljele BC kõrguse AD, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD. Kuna nurk ABD oli kaks korda suurem kui nurk ACD, siis arvas Mari, et ka kolmnurga ACD pindala on kaks korda suurem kui kolmnurga ABD pindala. Arvutage kolmnurkade ACD ja ABD pindalad ning otsustage, kas Maril oli õigus?

Vastus

Maril õigus, sest
SACD ≈  cm2 ja
SABD ≈  cm2 ning seega
SACD : SABD2.

Metsaäärne põllumaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Põllumaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Põllumaa lühem diagonaal on 20 m, pikem haar 12 m ja nendevaheline nurk on 120°. Mitu meetrit võrku kulub põllumaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega üks meeter.

Vastus

Võrku kulub  meetrit.

Ще на цю тему
Інші дії