Arvuhulgad

Naturaalarvud
Algarvud
Täisarvud
Jaguvuse tunnused

Ratsionaalarvud
Irratsionaalarvud
Ratsionaalarvud

Seotud sisu

Naturaalarvud

Naturaalarvude hulk

Mõiste

Naturaalarvu mõiste tekkis tuhandeid aastaid tagasi seoses vajadusega loendada esemeid ja olendeid.

Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega $ℕ .$

ℕ = {1; 2; 3; ...}

Kui palju on naturaalarve?

Naturaalarve on lõpmata palju ja
igale naturaalarvule n järgneb naturaalarv (n + 1).

Summa ja korrutis

Kahe naturaalarvu summa ja korrutis on alati naturaalarv.

Kahe naturaalarvu vahe või jagatis ei pruugi olla naturaalarv.

Näiteks

2 – 5 = –3 ja –3 ei ole naturaalarv.

Kinnine hulk

Kui antud arvuhulga elementidega (arvudega) sooritatud tehte tulemus on arv samast hulgast, siis see arvuhulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine.

Naturaalarvude hulk on kinnine vaid liitmise ja korrutamise suhtes.

Näide 1

73 ∈ $ℕ$ ja 108 ∈ $ℕ .$

Summa 73 + 108 = 181 ∈ $ℕ .$
Vahe 73 – 108 = –35 ∉ $ℕ .$
Korrutis 73 · 108 = 7884 ∈ $ℕ .$
Jagatis 73 : 108 ≈ 0,68 ∉ $ℕ .$

Märka

Arvu null mõiste ja selle tähistamine numbriga tekkis alles 7. sajandil Indias. Seega, arvu null ei ole loogiline vaadelda naturaalarvuna. Paljudes teistes õpikutes defineeritakse siiski naturaalarvude hulk nii, et null on selles esimene element.

Mõtle

Mõtle üks positiivne kahekohaline arv. Korruta selle esimene number 2-ga ja saadud arv 5-ga.
Nüüd liida mõeldud arvu teine number.
Ütle, mis arvu said, ja ma ütlen, mis arvu mõtlesid. Mida näitab öeldud arvu sajaliste number?
Kuidas näitavad öeldud arvu kümnelised ja ühelised mõeldud arvu üheliste numbrit?

Seotud sisu

Algarvud

Naturaalarve, mis jaguvad vaid arvuga üks ja iseendaga, nimetatakse algarvudeks.

Näiteks

Esimesed kümme algarvu on

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Teoreem

Algarve on lõpmatult palju.

Tõestus

Oletame vastuväiteliselt, et algarve on lõplik hulk, mis on järjestatud kasvavas järjestuses:

a₁; a₂; a₃; ...; a_n.

Moodustame arvu A = a₁ · a₂ · a_n + 1. Vastuväitelise oletuse kohaselt pole A algarv. Järelikult peab see jaguma vähemalt ühega algarvudest.

Kuid kui jagame arvu A mingi algarvuga a_i, i = 1; 2; 3; ...; n, saame alati jäägiks 1 ja seega ei jagu see ühegagi nendest algarvudest.

Järelikult peab A olema kas ise algarv või sisaldama tegurina algarvu, mis erineb arvudest a₁; a₂; a₃; ...; a_n.

See on vasturääkivus eeldusega, et teisi algarve peale a₁; a₂; a₃; ...; a_n pole.

Tekkinud vasturääkivus näitab, et algarve peab olema lõpmatult palju. ■

Märka

Arv 1 ei ole algarv.

Algarvude hulgas on vaid üks paarisarv, s.o arv 2.

31
11
13
9
29
43
33
1
17
49
21

Näide 2

Algarve kujul 2ⁿ – 1 nimetatakse Mersenne’i algarvudeks.

Kõige esimene selline algarv on

2² – 1 = 3

ja praegu suurim ehk viiekümnes Mersenne’i algarv on

2^77232917 – 1.

Seotud sisu

Täisarvud

Täisarvude hulk

Lisame arve

Selleks, et saada lahutamise suhtes kinnine arvuhulk, tuleb naturaalarvude hulgale $ℕ$ lisada arv null ja naturaalarvude vastandarvud.

$ℤ$ = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}
või
$ℤ$ = {0; ±1; ±2, ±3; ...}

Kinnine hulk

Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes.

Kahe täisarvu jagatis ei pruugi olla täisarv.

Märka

Paarisarvu üldkuju on

2n, n ∈ $ℤ .$

Paaritu arvu üldkuju on

2n – 1
või
2n + 1, n ∈ $ℤ .$

Näide 3

Tõestame, et mis tahes paarisarvu ruudu ja paaritu arvu ruudu vahe on alati paaritu arv.

Eeldus

On antud paarisarv 2n, n ∈ $ℕ$
ja paaritu arv 2m + 1, m ∈ $ℕ .$

Väide

(2n)² – (2m + 1)² on paaritu arv.

Tõestus

(2n)² – (2m + 1)² =
= 4n² – 4m² – 4m – 1 =
= 2(2n² – 2m² – 2m) – 1

Avaldise 2(2n² – 2m² – 2m) – 1 väärtus on kindlasti paarisarv, kuna see on täisarvu 2-kordne.
Avaldise 2n² – 2m²– 2m väärtus on täisarv, kuna n ja m on täisarvud ning täisarvude hulk on kinnine korrutamise ja lahutamise suhtes.
Kui paarisarvust lahutada arv 1, saame kindlasti paaritu arvu.

Järelikult oleme tõestanud, et mis tahes paarisarvu ruudu ja paaritu arvu ruudu vahe on alati paaritu arv ■

Mõtle

Kahe paarisarvu summa on alati paarisarv.
Kahe paaritu arvu summa on alati paarisarv.
Paarisarvu ja paaritu arvu summa on alati paaritu arv.
Kahe paarisarvu korrutis on alati paarisarv.
Kahe paaritu arvu korrutis on alati paaritu arv.
Paarisarvu ja paaritu arvu korrutis on alati paarisarv.
Paaritu arvu ruut on alati paaritu arv.

Seotud sisu

Jaguvuse tunnused

Kahega jagumine

Arv a jagub kahega parajasti siis, kui see on paarisarv. Paarisarvu üldkuju on 2n, n ∈ $ℤ .$

Näiteks

Arvud 598 ja 30 916 on paarisarvud ja seega jaguvad kahega.

Kolmega jagumine

Arv a jagub kolmega parajasti siis, kui selle ristsumma jagub kolmega. Kolmega jaguvate arvude üldkuju on 3n, n ∈ $ℤ .$

Näiteks

Arv 12 345 jagub 3-ga, sest 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ja 15 : 3 = 5.

Viie ja kümnega jagumine

Arv a jagub viiega parajasti siis, kui selle viimaseks numbriks on 0 või 5.
Viiega jaguvate arvude üldkuju on 5n, n ∈ $ℤ .$

Kui viimaseks numbriks on null, siis jagub see arv ka kümnega.
Kümnega jaguvate arvude üldkuju on 10n, n ∈ $ℤ .$

Näiteks

Arv 995 jagub 5-ga, aga arv 7770 5-ga ja 10-ga.

Neljaga jagumine

Arv a jagub neljaga parajasti siis, kui selle kahest viimasest numbrist koosnev arv jagub neljaga.

Neljaga jaguvate arvude üldkuju on 4n, n ∈ $ℤ .$

See tunnus põhineb asjaolul, et arvud, mis on kordsed sajaga, jaguvad alati neljaga.

Näiteks

Arvud –184 ja 30 012 jaguvad neljaga, sest 84 ja 12 jaguvad neljaga.

Üheksaga jagumine

Arv a jagub üheksaga parajasti siis, kui selle ristsumma jagub üheksaga.

See tunnus on põhimõtteliselt sarnane kolmega jaguvuse tunnusega.

Näiteks

Arvu 624 ristsumma 12 jagub küll kolmega, kuid ei jagu üheksaga.
Arv 1962 aga jagub üheksaga, sest selle ristsumma 1 + 9 + 6 + 2 = 18 jagub üheksaga.

Kuuega jagumine

Arv a jagub kuuega parajasti siis, kui see jagub nii kahe kui ka kolmega.

Sama põhimõttega saab määrata jaguvust 15-ga.

Näiteks

Arv 444 jagub 2-ga ja 3-ga ning seetõttu ka 6-ga.
Arv 1965 jagub 3-ga ja 5-ga ning seetõttu ka 15-ga.

11-ga jagumine

Olgu kolmekohalise arvu n numbrid a, b ja c ehk

n = 100a + 10b + c.

Arv n jagub üheteistkümnega parajasti siis, kui

a + c < 10 ja a + c = b või
a + c > 10 ja a + c – 11 = b.

Näiteks

Arv 572 jagub 11-ga, sest
5 + 2 < 10 ja 5 + 2 = 7.
Arv 913 jagub samuti 11-ga, sest
9 + 3 > 10 ja 9 + 3 – 11 = 1.

Jaguvus üldkujul

Naturaalarvuga k jaguvate täisarvude üldkuju on

kn, n ∈ $ℤ .$

Siit järeldub, et kõik täisarvud, mille jagamisel arvuga k tekib jääk r, omavad kuju

kn + r, n ∈ $ℤ,$ 0 ≤ r < k.

Näide 4

Arvude 3n + 1 jagamisel 3-ga
tekib jääk 1.
Arvude 3n + 2 jagamisel 3-ga
tekib jääk 2.
Arvude 7n + 5 jagamisel 7-ga
tekib jääk 5.

Märka

Arvuga null ei saa jagada.

2-ga
3-ga
4-ga
5-ga
6-ga
9-ga
10-ga
11-ga

2-ga
3-ga
4-ga
5-ga
6-ga
9-ga
10-ga
11-ga

Seotud sisu

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvude hulk

Murdarvud

Defineerime murdarvud $\frac{p}{q},$ kus p on täis- ja q naturaalarv.

Kui $\frac{p}{q}$ ei ole täisarv, siis on see positiivne või negatiivne harilik murd sõltuvalt arvu p märgist.

Lisame murdarvud

Täisarvud koos murdarvudega moodustavad
ratsionaalarvude hulga $ℚ .$

$ℚ = \{\frac{p}{q} | p \in ℤ, q \in ℕ\}$

Kinnine hulk

Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi nelja aritmeetilise tehte, s.o

liitmise ja lahutamise,
korrutamise ja jagamise suhtes,
v.a jagamine nulliga.

Märka

Pöördarvudeks nimetatakse kahte arvu, mille korrutis on 1.

Näide 5

Pöördarvud on

3 ja $\frac{1}{3};$
$- \frac{5}{6}$ ja $- \frac{6}{5}$ või $- 1 \frac{1}{5};$
0,1 ja 10.

Mõtle

Too kaks näidet kahe arvu kohta, mille vastandarvude pöördväärtuste summa kuulub arvuhulka $ℚ .$
Too kaks näidet kahe arvu kohta, mille vastandarvude pöördväärtuste korrutis kuulub arvuhulka $ℤ .$
Too kaks näidet kahe arvukohta, mille pöördarvude vastandväärtuste vahe on null.
Too kaks näidet kahe arvu kohta, mille pöördarvude vastandväärtuste jagatis on –1.

Seotud sisu

Irratsionaalarvud

Juurimine

Vaatleme nüüd ratsionaalarvude astendamist ja juurimist. Astendamise suhtes on ratsionaalarvude hulk kinnine. Juur ratsionaalarvust või isegi täisarvust ei pruugi aga olla ratsionaalarv. Kümnendsüsteemis on nende arvude esituseks lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Selliseid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks.

Irratsionaalarvude hulk $𝕀$

Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.

Näiteks

Arvud $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}$ ole ratsionaalarvud. Kümnendsüsteemis on nende arvude esituseks lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud.

Peale juurte on ka teisi irratsionaalarve, mis ei avaldu mingi juurena, näiteks arv pii.

π = 3,14159... ≈ 3,14.

Märka

Esimese irratsionaalarvu $\sqrt{2}$ avastasid pütaagorlased umbes 6. sajandil eKr.

Nad avastasid, et kui ruudu külje mõõduks on 1 ühik, on diagonaali pikkus $\sqrt{2} .$

Seotud sisu

Reaalarvud

Reaalarvude hulk

Irratsionaalarvude hulk $𝕀$ koos ratsionaalarvude $ℚ$ hulgaga moodustavad reaalarvude hulga $ℝ .$

$ℝ = ℚ \cup 𝕀$

Märka

Reaalarvude hulk ei ole siiski kinnine juurimise suhtes.

Mis tahes juur positiivsest reaalarvust on positiivne reaalarv, kuid juur negatiivsest reaalarvust ei ole reaalarv, kui juurĳaks on paarisarv.

Arvuhulkade omavaheline sisaldumine: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

N ∪ Z =
N ∩ Z =
Z ∪  = Q

Q ∪ I =
R ∩  = N
Q ∩  = ∅

Seotud sisu

Harjutamine

K = {y ∈ $ℕ$ | 5 ≤ y ≤ 9},
L = {y ∈ $ℕ$ | 1 < y < 9},

Millised järgmistest hulkadest saavad olla hulgad F = E\{5; 6; 7}, kui E ⊂  $ℕ ?$

{1; 2; 3}
tühihulk
{2; 4; 6}
{100; 1000}
{-1; 1}

Millised järgmistest hulkadest saavad olla hulgad P = S\T, S ⊂ ℤ ja T ⊂ ℕ?

{0; 5}
{−18; −17,5}
{−7; 0}
{−100; −18}
{−2; 2}
{−5}

0,4
1,25
3
−1/3
2,5
0,5
−0,125
1/8
5,2
−1/2
−0,8

Arvu 2,5 pöördarv on
Arvu 0,8 pöördarv on
Arvu $\frac{1}{3}$ pöördarv on
Arvu −3 pöördarv on
Arvu $\frac{2}{5}$ pöördarv on
Arvu 2 pöördarv on
Arvu −8 pöördarv on

1) A = {–5; –4; 2}

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

2) B = ${\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}}$

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

3) C = $\{- \sqrt{2}; \sqrt{2}; 2 \sqrt{2}\}$

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

4) D = {–0,28; 3,2; 8}

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

5) E = $\{\frac{2}{5}; 0,(3); \frac{2}{9}\}$

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

1) avaldis 2 – 5

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

2) avaldis –2 : 3

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

3) avaldis $\frac{\sqrt{3}}{3}$

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

4) avaldis (2 – 3 : 5)³

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

5) avaldis (8 – 5) : 0

N
Z
Q
I
R
vaste puudub

1) kinnised liitmistehte suhtes?

N
Z
Q
I
R

2) kinnised lahutamistehte suhtes?

N
Z
Q
I
R

3) kinnised jagamistehte suhtes?

N
Z
Q
I
R

4) kinnised korrutamistehte suhtes?

N
Z
Q
I
R

Hulk G = A ∩ B, kui
A = {x ∈  $ℝ$ | 2 ≤ x ≤ 3} ja B ⊂  $ℚ .$

{1; 2; 3}
{2; 2,9; 3}
{2,95; 3,1}
{2,5; 3}
{2,001}

Hulk K = C ∩ D, kui
C = {x ∈  $ℝ$ | 0 ≤ x ≤ 2} ja D ⊂  $ℚ .$

{1; 1,7; 1,9}
{0; 2}
{1,5; 3}
{0,5; 2,01}
{–1; 1}

Hulk M = K\L, kui K ⊂  $ℝ$ ja L ⊂  $𝕀 .$

{–100; 100}
ruudu külg, kui pindala on 8
{18,8; 77,7}
ringi pindala, kui raadius on π
π
kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on ratsionaalarvud

Tõestamisülesanded

Tõesta, et paaritu arvu ruudu ja paaritu arvu summa on paarisarv.
Tõesta, et paaritu arvu ja paarisarvu ruudu vahe on paaritu arv.
Näita, et kui kahekohalisele arvule liidetakse juurde teine kahekohaline arv, mis on kirjutatud samade numbritega vastupidises järjestuses, siis saadud summa jagub 11-ga.
Näita, et kui kahekohalisest arvust lahutada teine kahekohaline arv, mis on kirjutatud samade numbritega vastupidises järjestuses, siis saadud vahe jagub 9-ga.
Näita, et kui kolmekohaline arv on kirjutatud samade numbritega, siis see arv jagub alati 3-ga.

Märka

Kahekohalise arvu üldkuju on

10a + b.

Kolmekohalise arvu üldkuju on

100a + 10b + c.

Neljakohalise arvu üldkuju on

1000a + 100b + 10c + d.

Tõesta

Tõesta, et kui teed ükskõik missuguse neljakohalise arvuga järgmised tehted, saad lõpptulemuseks alati esialgse arvu.

Kirjuta see arv ilma viimase numbrita,
seejärel ilma kahe viimase numbrita ja
seejärel ilma kolme viimase numbrita ning
liida niimoodi saadud kolm arvu.
Korruta saadud summa 9-ga ja liida tulemusele esialgse neljakohalise arvu ristsumma.

Näita, et ...

kui kolmekohalisest arvust lahutada arv, millel on samad numbrid, kuid vastupidises järjestuses, siis saame täisarvu, mis jagub alati 99-ga.

kolmekohalise arvu ja selle ristsumma vahe jagub alati 9-ga.

kui kahekohalise arvu esimene number on paarisarv, siis arvu ja selle ristsumma ruutude vahe jagub 36-ga.

leidub kahekohaline arv, mille jagamisel ristsummaga saame vastuseks ühe kolmandiku ristsummast eeldusel, et arvu üheliste number on nelja võrra suurem kümneliste numbrist.

Seotud sisu

Jäta meelde

ℕ
ℝ
ℚ
ℤ
⟦

{1; 2; ... } =

{...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...} =

$\{\frac{p}{q} | p \in ℤ, q \in ℕ\} =$

$ℝ \ ℚ =$

$ℚ \cup 𝕀 =$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Arvuhulgad

Seotud sisu

Naturaalarvud

Naturaalarvude hulk

Mõiste

Kui palju on naturaalarve?

Summa ja korrutis

Näiteks

Kinnine hulk

Näide 1

Märka

Mõtle

Seotud sisu

Algarvud

Algarvud

Näiteks

Teoreem

Tõestus

Märka

Näide 2

Seotud sisu

Täisarvud

Täisarvude hulk

Lisame arve

Kinnine hulk

Märka

Näide 3

Eeldus

Väide

Tõestus

Mõtle

Seotud sisu

Jaguvuse tunnused

Jaguvuse tunnused

Kahega jagumine

Näiteks

Kolmega jagumine

Näiteks

Viie ja kümnega jagumine

Näiteks

Neljaga jagumine

Näiteks

Üheksaga jagumine

Näiteks

Kuuega jagumine

Näiteks

11-ga jagumine

Näiteks

Jaguvus üldkujul

Näide 4

Märka

Seotud sisu

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvude hulk

Murdarvud

Lisame murdarvud

Kinnine hulk

Märka

Näide 5

Mõtle

Seotud sisu

Irratsionaalarvud

Juurimine

Irratsionaalarvude hulk 𝕀

Näiteks

Märka

Seotud sisu

Reaalarvud

Reaalarvude hulk

Märka

Seotud sisu

Harjutamine

Tõestamisülesanded

Märka

Tõesta

Näita, et ...

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Irratsionaalarvude hulk $𝕀$