Arvuhulkade omadused

  • Arvuhulkade järjestatus ja tihedus
  • Arvuhulkade loenduvus
  • Arvuhulkade pidevus
Seotud sisu
Muud tegevused

Lõpmatu, järjestatud ja tihe hulk

Lõpmatud hulgad

Kõik eespool vaadeldud arvuhulgad on lõpmatud. Naturaal­arvude hulgas  ℕ  on vähim arv 1, kuid puudub suurim arv. Täisarvude hulgas ℤ ,  ratsionaal­arvude hulgas ℚ  ja reaal­arvude hulgas ℝ  puudub nii vähim kui ka suurim arv.

Järjestatus ja tihedus

Järjestatud hulk

Arvuhulk on järjestatud, kui selle hulga iga kahe arvu a ja b jaoks kehtib üks kolmest võimalusest:

a < b või a > b või a = b.

Järjestatuse selgitus

Kui võtame arvuhulgast kaks arvu, siis võime alati öelda, kumb neist on suurem ja kumb väiksem või et need on võrdsed. Seda omadust nimetatakse hulga järjestatuseks.

Tihedus

Arvuhulk on tihe, kui selle hulga iga kahe arvu vahel leidub veel kui tahes palju selle hulga arve.

Tiheduse selgitus

Kui vaatleme ratsionaalarvude hulka ℚ ,  siis mis tahes kahe arvu a ja b vahel sellest hulgast asub lõpmatult palju ratsionaalarve. Samuti mis tahes kahe irratsionaalarvu vahel asub veel lõpmatult palju irratsionaalarve. Sellist omadust nimetatakse arvuhulga tiheduseks. 

Näide 1

Hulgad  ℚ  ja  𝕀 ,  aga järelikult ka reaalarvude hulk ℝ ,  on tihedad.

Naturaalarvude hulk ℕ  ja täisarvude hulk ℤ  ei ole tihedad, sest kahe järjestikuse täisarvu n ja (n + 1) vahel pole teisi täisarve.

Märka

  1. Arvuhulgad
    ​ ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀   ja ℝ  on
    ​lõpmatud.
  2. Arvuhulgad
    ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 ​ ja ℝ  on
    ​järjestatud.
  3. Arvuhulgad ℚ, 𝕀  ja ℝ on
    ​tihedad.
Seotud sisu
Muud tegevused

Loenduvus 

Loenduvad hulgad

Kõik vaadeldud arvuhulgad on lõpmatud. Kuid saab eristada loenduvat ja mitteloenduvat lõpmatust. Naturaalarve saab kasutada loendamiseks ja nende hulka ℕ  nimetatakse loenduvaks. Kõiki lõpmatuid hulki, mille elemente saab järjestada, nummerdada ja seega loendada, nimetatakse samuti loenduvateks. 

Loenduv ja loendumatu

Loenduvad hulgad

Naturaalarvude, täisarvude ja ratsionaalarvude hulk on loenduvad hulgad.

Loendumatud hulgad

Saab näidata, et irratsionaalarvude hulk ja järelikult ka reaalarvude hulk on loendumatu. Neid arvuhulki nimetatakse kontiinumiteks.

Märka

Täisarvude hulk on loenduv, sest me saame täisarvud järjestada näiteks nii:

0, –1, +1, –2, +2, –3, +3, …

Näide 2

Ratsionaalarvude loendamine

Ratsionaalarvude hulk on samuti loenduv. Vaatleme algul positiivseid ratsionaalarve tabelis. See tabel sisaldab kõiki naturaalarve ja positiivseid harilikke murde. Seejuures iga arv esineb selles tabelis mitu korda (tegelikult loenduv arv kordi). Sellest hoolimata saame kõik arvud järjestada ja seega loendada, liikudes siksakiliselt mööda diagonaale, nagu on näidatud joonisel. Saame järjestuse

12;13 ;22 = 1; 32;23; 14; 15; 24 =     12; 33 = 1; 42 = 2; 52 ...

Kui positiivsed ratsionaalarvud on loendatud, siis on loenduv ka kogu ratsionaalarvude hulk, sest me saame asetada iga arvu järele ülaltoodud järjestuses selle vastandarvu. Positiivsed ja negatiivsed ratsionaalarvud koos arvuga null on siis vaheldumisi ja järjestatud.

Esitame ratsionaalarvud pq  tabelina. Ratsionaalarvude hulk on loenduv
Seotud sisu
Muud tegevused

Pidev hulk

Pidevus

Reaalarvud ja arvtelg

Reaalarvude hulga ℝ  elementide (arvude) ning arvtelje punktide vahel eksisteerib üksühene vastavus. Igale reaalarvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks konkreetne reaalarv.

Seda reaalarvude hulga  ℝ  omadust nimetatakse selle hulga pidevuseks.

Kuigi ratsionaalarvude hulk  ℚ  on loenduv ning reaalarvude hulk ℝ  mitteloenduv ja pidev, on ratsionaalarvude hulk ℚ kõikjal tihe osahulk reaalarvude hulgas  ℝ .  See tähendab, et iga reaalarvu a jaoks leidub alati vähemalt üks ratsionaalarv

b=pq ,

mis erineb reaalarvust a kui tahes vähe, vähem kui mis tahes väike etteantud suurus

ε > 0,  st

​|a – b| < ε, a ∈  ℝ ,  b =  pq  ∈ ℚ .

Märka

Sümbol ε on Kreeka täht epsilon.

Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

1) Lõpmatud arvuhulgad

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I

2) Järjestatud arvuhulgad 

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I

3) Tihedad arvuhulgad

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I

4) Loenduvad arvuhulgad

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I

5) Mitteloenduvad hulgad

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I

6) Pidevad arvuhulgad

  • N
  • Z
  • Q
  • R
  • I
Seotud sisu
Muud tegevused