Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Ring ja ringjoon
Arv π jada piirväärtuseks
Ringi pindala kui piirväärtus

Seotud sisu

Ring ja ringjoon

Ringjoone pikkus

$C = 2 π r$
$C = π d$
$C = π r$
$C = π r^{2}$

Ringi pindala

$S = π d$
$S = π r$
$S = 2 π r$
$S = π r^{2}$

Arv π = 3,1415926536... kuulub arvuhulka

$ℕ$
$ℝ$
$ℚ$
$𝕀$

r = 6 cm
R = 12 cm

Vastus

Värvitud osa pindala
S = cm² ja ümbermõõt
P = cm.

Seotud sisu

Arv π jada piirväärtuseks

Märka

Jada {a_n} on kasvav, kui

a_n₊₁ > a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on mittekahanev, kui

a_n₊₁ ≥ a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on kahanev, kui

a_n₊₁ < a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on mittekasvav,

kui a_n₊₁ ≤ a_n, n ∈ ℕ.

Teoreem

Kui mittekahanev jada {a_n} on ülalt tõkestatud, st
a_n ≤ M, n ∈ ℕ,
siis eksisteerib selle jada piirväärtus a.

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a \leq M$

Kui mittekahanev jada {b_n} on alt tõkestatud, st
b_n ≥ M, n ∈ ℕ,
siis eksisteerib selle jada piirväärtus b.

$\lim_{n \to \infty} b_{n} = b \geq M$

Korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõtude jada

Kui ringjoone sisse joonestada korrapärane n-nurk ja ühendada selle tipud ringjoone keskpunktiga O, saame n võrdhaarset kolmnurka, mille tipunurk on 2α.

$2 α = \frac{360 °}{n}$ ja $α = \frac{180 °}{n}$

Avaldame korrapärase n-nurga külje.

$a_{n} = 2 r sin α = 2 r sin \frac{180 °}{n}$

Avaldame hulknurga ümbermõõdu.

$l_{n} = n \cdot a_{n} = 2 r n \sin \frac{180 °}{n}$

Korrapäraste kõõlhulknurkade ümbermõõtude jada {l_n} on kasvav, ülalt tõkestatud ja selle jada piirväärtus on ringjoone pikkus C.

$\lim_{n \to \infty} l_{n} = \lim_{n \to \infty} (2 r n \cdot \sin \frac{180 °}{n}) =$

$= 2 r \cdot \lim_{n \to \infty} (n \cdot \sin \frac{180 °}{n}) = 2 π r$

Saab näidata, et jada $\{n \cdot \sin \frac{180 °}{n}\}$ piirväärtuseks on arv π.

Korrapärane kõõlhulknurk

Lähendame korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõdu l_n ringjoone pikkusele C.

n kasvades läheneb kõõlhulknurga ümbermõõdu l_n erinevus ringjoone pikkusest nullile.

n	α	sin α	n ⋅ sin α
3	60°	0,8660	2,5981
6	30°
12	15°
60	3°
90	2°
180	1°

Seotud sisu

Ringi pindala kui piirväärtus

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Ringjoone pikkust võib vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade ümbermõõtude jada {l_n} piirväärtusena.

Ringi pindala võib vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada {S_n} piirväärtusena.

Märka

$\lim_{n \to \infty} l_{n} = C = 2 π r$

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = S = π r^{2}$

Korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada

Avaldame kolmnurga OAB pindala.

S_OAB = $\frac{a_{n} \cdot h_{n}}{2}$

Ringi pindala S saab vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade S_n jada piirväärtusena.

S_n = n ⋅ S_OAB

$S_{n} = \frac{n a_{n} \cdot h_{n}}{2} = \frac{l_{n} \cdot h_{n}}{2}$

Jada {S_n} on kasvav ja ülalt tõkestatud ringi pindalaga S. On näha, et n kasvades kõõlhulknurga pindala S_n erinevus ringi pindalast läheneb nullile. Järelikult eksisteerib piirväärtus.

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{l_{n} \cdot h_{n}}{2} =$

$= \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} l_{n} \cdot \lim_{n \to \infty} h_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 π r \cdot r$

Järelikult, ringi pindala S = πr².

Lähendame korrapärase kõõlhulknurga pindala S_n ringi pindalale S.

n kasvades läheneb kõõlhulknurga pindala S_n erinevus ringi pindalast nullile.

Ümberringjoon
- R = cm
- C = cm
- S = cm²
Siseringjoon
- r = cm
- C = cm
- S = cm²

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kujund kujundis

Arvuta värvitud osa pindala.

Suure kolmnurga pindala
S₁ = $\sqrt{}$ cm²
Väikese kolmnurga pindala
S₂ = $\sqrt{}$ cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

S_▭ = cm²
S_◓ = π cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

r = $\sqrt{}$ cm
S_○ = π cm²
S_Δ = $\sqrt{}$ cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu
S ≈ cm².

a = $\sqrt{}$ cm
S_△ = $\sqrt{}$ cm²
S_○ = π cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

a = cm
S₆ = $\sqrt{}$ cm²
r = $\sqrt{}$ cm
S_○ = cm²

Vastus

Värvitud osa ligikaudne pindala on cm².

Ümbermõõt koosneb neljast poolringjoonest ehk kahest ringjoonest raadiusega
r = ü.

Roseti pindala leidmiseks tuleb

Märkus

Antud kujundit võib vaadelda osana neljast poolringist. Kui liita kokku nelja poolringi pindalad, siis saame kogu ruudu pindala ja lisaks veel värvitud kujundi. See tuleneb sellest, et summa sisaldab värvitud kujundit kahekordselt.

Vastus

Roseti ümbermõõt on π ühikut ja pindala ligikaudu ruutühikut.

$h = 6 \sqrt{3}$ cm.
r = $\sqrt{}$ cm
R = $\sqrt{}$ cm

Ümberringjoon

C (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$8 \sqrt{3}$
$12 \sqrt{3}$

S = π cm²

Siseringjoon

C (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$8 \sqrt{3}$
$12 \sqrt{3}$

S = π cm²

$5$
$5 \sqrt{2}$
$10$
$10 \sqrt{2}$
$25$
$25 \sqrt{2}$
$25 π$
$50 π$
$50$
$10 π$
$10 π \sqrt{2}$

Ümberringjoon

R = cm
C = cm
S = cm²

Siseringjoon

r = cm
C = cm
S = cm²

Korrapärane kuusnurk

Kuusnurga apoteem on $6 \sqrt{3}$ cm. Arvuta sise- ja ümberringjoone pikkus ja vastavate ringide pindalad.

r (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$6$
$12$

C (cm) =

$4 \sqrt{3} π$
$4 \sqrt{3} π$
$8 \sqrt{3} π$
$6 \sqrt{3} π$
$24 π$
$12 \sqrt{3} π$

S = π cm²

R (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$6$
$12$

C (cm) =

$12 \sqrt{3} π$
$4 \sqrt{3} π$
$8 \sqrt{3} π$
$6 \sqrt{3} π$
$24 π$
$12 π$

S = π cm²

Korrapärase kuusnurga siseringjoone pindala moodustab ümberringjoone pindalast
%.
Korrapärase kolmnurga ümberringjoone pindala on siseringjoone pindalast ligikaudu % suurem.
Kuidas muutuvad need protsendid, kui apoteemi suurendada kolm korda?
Protsent

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Seotud sisu

Ring ja ringjoon

Vastus

Seotud sisu

Arv π jada piirväärtuseks

Märka

Teoreem

Korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõtude jada

Korrapärane kõõlhulknurk

Seotud sisu

Ringi pindala kui piirväärtus

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Märka

Korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kujund kujundis

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Märkus

Vastus

Ümberringjoon

Siseringjoon

Ümberringjoon

Siseringjoon

Korrapärane kuusnurk

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid