Funktsiooni paarsus. Astme­funktsioon

  • Paaris ja paaritu funktsioon
  • Astendajaks paarisarv
  • Astendajaks paaritu arv
Seotud sisu
Muud tegevused

Paaris või paaritu

Paarisfunktsioon

Funktsioon y = f (x) on paarisfunktsioon, kui kehtib võrdus

f(–x) = f(x), x ∈ X.

Paaritu funktsioon

Funktsioon y = f (x) on paaritu funktsioon, kui kehtib võrdus

f(–x) = –f(x), x ∈ X.

Märka

  • Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.
  • Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Näited

Näide 1. Paaris­funktsioon

Näitame, et funktsioon f(x) = –3x4 + 2x2 on paarisfunktsioon.

f(–x) = –3(–x)4 + 2(–x)2 = –3x4 + 2x2

Saime, et 

 f(–x) = f(x),

seega on tegemist on paaris­funktsiooniga.

Näide 2. Paaritu funktsioon

Näitame, et funktsioon g(x) = –5x5 + x on paaritu funktsioon.

  1. Kõigepealt uurime, kas funktsioon on paaris­funktsioon.
    ​g(–x) = –5(–x)5 + (–x) = 5x5 – x
    ​Kuna g(–x) ≠ g(x), pole tegemist paarisfunktsiooniga.
  2. Uurime, kas funktsioon on paaritu funktsioon.
    ​–g(x) = –(–5x5 + x) = 5x5 – x
    ​Saime, et g(–x) = –g(x),
    ​seega on tegemist paaritu funktsiooniga.

Näide 3. Pole paaris- ega paaritu funktsioon

Uurime funktsiooni h(x) = –3x4 + 2x paarsust.

  1. Kõigepealt uurime, kas funktsioon on paaris­­funktsioon.
    ​h(–x) = –3(–x)4 + 2(–x) = –3x4 – 2x
    ​Kuna h(–x) ≠ h(x), pole tegemist paaris­funktsiooniga.
  2. Uurime, kas funktsioon on paaritu funktsioon.
    ​–h(x) = –(–3x4 + 2x) = 3x4 – 2x
    ​Kuna h(–x) ≠ –h(x), pole tegemist paaritu funktsiooniga.

Järelikult pole funktsioon h(x) paaris ega paaritu funktsioon.

Näidete graafikud

        Seotud sisu
        Muud tegevused

        Astendajaks paarisarv

        Astmefunktsioon

        • Põhilist elementaar­funktsiooni kujul

        y = xn, n ∈ ℝ

        nimetatakse astme­­funktsiooniks.

        • Astmefunktsioonis y = xn on astendaja n paarisarv, kui n = 2k, k ∈ ℕ.

        Märka 

        Astmefunktsiooni y = x2  nimetatakse ruutfunktsiooniks, mille graafikuks on parabool.

        Kui astendaja on kahest suurem naturaalarv, siis nimetatakse graafikut vastava astme parabooliks.

        • Funktsiooni y = x3 graafik on kuupparabool.
        • Funktsiooni y = x4 graafik on neljanda astme parabool.

        Mõtle

        • X = 
        • Y = 
        • X0 = {}
        • X+ = 
        • X– = 
        • X↑ = 
        • X↓ = 
        • paaris­funktsioon, kuna (–x)2k = x2k
        • X = 
        • Y = 
        • X0 = 
        • X+ = 
        • X– = 
        • X↑ = 
        • X↓ = 
        • paaris­funktsioon, kuna (–x)–2k = x–2k
        • Kui astmefunktsiooni y = xn astendaja n = 0, siis saame konstantse funktsiooni
          y = .
        • Selle funktsiooni graafikuks on , mis on paralleelne 

        Graafikud 1

        Vaatleme selliste astme­funktsioonide graafikuid, kus astendaja on positiivne või negatiivne paarisarv.

        Positiivne astendaja

        Negatiivne astendaja

        Seotud sisu
        Muud tegevused

        Astendajaks paaritu arv

        Astmefunktsioon

        Astmefunktsioonis y = xn on astendaja n paaritu arv, kui

        n = 2k – 1, k ∈ℤ.

        Märka

        Kõik astmefunktsioonid, kus astendaja on paaritu arv, on paaritud funktsioonid.

        Graafikud 2

        Vaatleme selliste astmefunktsioonide graafikuid, kus astendaja on positiivne või negatiivne paaritu arv.

        Valemis k ∈ ℕ.

        Positiivne astendaja

        Funktsioon y = x2k–1

        Negatiivne astendaja

        Funktsioon y = x–2k+1

        Mõtle

        • X = 
        • Y = 
        • X0 = {}
        • X+ = 
        • X– = 
        • X↑ = 
        • X↓ = 
        • paaritu funktsioon, kuna (–x)2k–1
           = –x2k–1
        • X = 
        • Y = 
        • X0 = 
        • X+ = 
        • X– = 
        • X↑ = 
        • X↓1 = 
        • X↓2 = 
        • paaritu funktsioon,  kuna
          (–x)–2k+1= –x–2k+1
        Seotud sisu
        Muud tegevused

        Harjuta ja treeni

        Funktsiooni paarsus

        Kontrolli, kas funktsioon on paaris, paaritu või pole kumbki.

         f(x) = x2 – 4

        • f(–x) = 
        • x2 – 4
        • x2 + 4
        • –x2 – 4
        • –x2 + 4
        • –f(x) = 
        • x2 – 4
        • x2 + 4
        • –x2 – 4
        • –x2 + 4
        • f(x)  sest
        • f(–x) = f(x)
        • –f(x) = f(–x)
        • f(–x) ≠ f(x) ja –f(x) ≠ f(–x)

         f(x) = (x – 4)2

        • f(–x) = 
        • (x – 4)2
        • (x + 4)2
        • (–x + 4)2
        • –f(x) = 
        • (x – 4)2
        • –(x – 4)2
        • (–x + 4)2
        • f(x)  sest
        • f(–x) = f(x)
        • –f(x) = f(–x)
        • f(–x) ≠ f(x) ja –f(x) ≠ f(–x)

         f(x) = 4 + 4x – x2

        • f(–x) = 
        • 4 + 4x + x2
        • –4 – 4x + x2
        • 4 – 4x + x2
        • 4 – 4x – x2
        • –4 – 4x – x2
        • 4 + 4x + x2
        • –f(x) = 
        • 4 + 4x + x2
        • –4 – 4x + x2
        • 4 – 4x + x2
        • 4 – 4x – x2
        • –4 – 4x – x2
        • 4 + 4x + x2
        • f(x)  sest
        • f(–x) = f(x)
        • –f(x) = f(–x)
        • f(–x) ≠ f(x) ja –f(x) ≠ f(–x)

        1) y = 3x4 + 2x2

        2) y = –2x2 + 3x – 1

        3) y = 5x3 – 4x

        4) y = 2x–1 + 6

        5) y=x2x4-2 

        6) y=8x2-2x3

        Funktsiooni uurimine

        Uuri joonise põhjal funktsioone.

        • X = 
        • Y = 
        • X+ = 
        • X– = 
        • X0 = 
        • X↑ = 
        • X↓ = 

        Funktsioon

        • on paaris­funktsioon.
        • on paaritu funktsioon.
        • pole paaris ega paaritu.
        • X = 
        • Y = 
        • X+ = 
        • X– = 
        • X0 = 
        • X↑ = 
        • X↓ = 

        Funktsioon

        • on paaris­funktsioon.
        • on paaritu funktsioon.
        • pole paaris ega paaritu.
        Seotud sisu
        Muud tegevused

        Jäta meelde

        Funktsioon g(x) on paarisfunktsioon, kui

        • g -x = g x
        • g -x = - g x

        Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetrilinesuhtes.

        Funktsioon g(x) on paaritu funktsioon, kui

        • g -x = g x
        • g -x = - g x

        Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetrilinesuhtes.

        Seotud sisu
        Muud tegevused