Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Kasvamine
Kahanemine
Mittekahanemine ja mittekasvamine

Funktsioon kasvab

Kasvamisvahemik

Funktsioon y = f(x) on kasvav vahemikus (a; b) ⊂ X, kui mis tahes kahe argumendi väärtuse x₁, x₂ korral sellest vahemikust argumendi suurenedes funktsiooni väärtus samuti suureneb.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), x₁, x₂ ∈ (a; b).

Märka

Maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kasvab ja mis sisaldab vaadeldavat vahemikku (a; b) nimetatakse funktsiooni kasvamisvahemikuks.

Kasvamisvahemikku tähistatakse sümboliga X↑.

Näited

Näide 1. Kasvav funktsioon

Funktsioon

y = 0,5x – 2

on kasvav kogu määramispiirkonnas.

X↑ = X
või
X↑ = (–∞; ∞)

Näide 2. Kasvamisvahemik

Funktsiooni

y = 0,5x² – x – 2

väärtused kasvavad vahemikus

X↑ = (1; ∞).

Näide 3. Mitu kasvamist

Kasvamist uurides ei tohi võrrelda funktsiooni väärtusi, mille argumendid on võetud erinevatest kasvamis- või kahanemisvahemikest.

Funktsioonil

y = x³ – 3x

on kaks kasvamisvahemikku:

X↑₁ = (–∞; –1)
ja
X↑₂ = (1; ∞).

(–∞; –2)
(–∞; 2]
[–2; 0]
(–2; 0)
(0; 2)
[0; 2]
(2; ∞)
[2; ∞)

Seotud sisu

Funktsioon kahaneb

Funktsioon y = f(x) on kahanev vahemikus (c; d) ⊂ X, kui mis tahes kahe argumendi väärtuse x₁ , x₂ korral sellest vahemikust argumendi suurenedes funktsiooni väärtus kahaneb.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂), x₁, x₂ ∈ (c; d).

Märka

Maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kahaneb ja mis sisaldab vaadeldavat vahemikku (c; d), nimetatakse funktsiooni kahanemisvahemikuks.

Kahanemisvahemikku tähistatakse sümboliga X↓.

Näited

Näide 1. Kahanev funktsioon

Funktsioon

y = –0,5x + 2

on kahanev kogu määramispiirkonnas.

X↓ = X
või
X↓ = (–∞; ∞)

Näide 2. Kahanemisvahemik

Funktsiooni

y = 0,5x² – x – 2

väärtused kahanevad vahemikus

X↓ = (–∞; 1).

Näide 3. Mitu kahanemist

Kahanemist uurides ei tohi võrrelda funktsiooni väärtusi, mille argumendid on võetud erinevatest kasvamis- või kahanemisvahemikest.

Funktsioonil

y = –x³ + 3x

on kaks kahanemisvahemikku:

X↓₁ = (–∞; –1)
ja
X↓₂ = (1; ∞).

(–∞; –2)
(–∞; 2]
[–2; 0]
(–2; 0)
(0; 2)
[0; 2]
(2; ∞)
[2; ∞)

Seotud sisu

Mitte nii rangelt

Mittekahanev ja mittekasvav

Kui argumendi kasvades vahemikus (a; b) ⊂ X funktsiooni väärtus jääb samaks või kasvab, siis on funktsioon mittekahanev vahemikus (a; b).

Kui argumendi kasvades vahemikus (c; d) ⊂ X funktsiooni väärtus jääb samaks või kahaneb, siis on funktsioon mittekasvav vahemikus (c; d).

Märka

Mittekahanemine:

$\begin{array}{r} x_{1} < x_{2} \\ x_{1}, x_{2} \in (a; b) \end{array}\} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$

Mittekasvamine:

$\begin{array}{r} x_{1} < x_{2} \\ x_{1}, x_{2} \in (c; d) \end{array}\} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$

Näide

Funktsioon y = a on nii mittekahanev kui ka mittekasvav kogu määramispiirkonnas.

Joonisel kujutatud funktsioon on

kasvav
kahanev
mittekasvav
mittekahanev

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$y = 1,2$
$y = x$
$x = 0,5$
$y = - \frac{x}{3} - 3$

Uuri nende funktsioonide kasvamist ja kahanemist.

Sirge y = 1,2	Sirge y = x
on kasvav on kahanev on mittekasvav on mittekahanev polegi funktsioon	on kasvav on kahanev on mittekasvav on mittekahanev polegi funktsioon
Sirge $y = - \frac{x}{3} - 3$	Sirge x = 0,5
on kasvav on kahanev on mittekasvav on mittekahanev polegi funktsioon	on kasvav on kahanev on mittekasvav on mittekahanev polegi funktsioon

Hüperboolid

Leia joonistel esitatud funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Kasvamisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Kahanemisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Kasvamisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Kahanemisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Kasvamisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Kahanemisvahemikud

∅
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; –3)
(–3; 2)
{–3; 2}
(–3; ∞)
(2; ∞)

Paraboolid

Leia joonistel esitatud funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemik.

Kasvamisvahemik

(–2; ∞)
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; 1)
(1; 3)
{1; 3}
(3; ∞)
(2; ∞)

Kahanemisvahemik

(–2; ∞)
(–∞; 2)
ℝ
(–∞; 1)
(1; 3)
{1; 3}
(3; ∞)
(2; ∞)

Kasvamisvahemik

(6; ∞)
(–∞; 3)
(–∞; 3]
(–∞; 0)
(0; 6)
[0; 6]
(3; ∞)
[3; ∞)

Kahanemisvahemik

(6; ∞)
(–∞; 3)
(–∞; 3]
(–∞; 0)
(0; 6)
[0; 6]
(3; ∞)
[3; ∞)

Kasvamisvahemik

[–9; ∞)
(–∞; 2]
(–∞; –2)
(0; ∞)
(–∞; 0)
(–2; 2)
(2; ∞)
[0; ∞)

Kahanemisvahemik

[–9; ∞)
(–∞; 2]
(–∞; –2)
(0; ∞)
(–∞; 0)
(–2; 2)
(2; ∞)
[0; ∞)

Funktsiooni uurimine

Leia joonise järgi funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond, nullkohad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

(–∞; –4)
(–∞; –4]
(–∞; ∞)
(–6; 0)
(0; ∞)
[0; ∞)
(–4; 0)
[–4; 0]
(–∞; –6)
(–∞; –6]
{–6; 0}
{–4; 0}
(–6; ∞)

X =
Y =
X₀ =
X⁺ =  ∪ 
X^– =
X↑₁ =
X↑₂ =
X↓ =

0
2
(–∞; ∞)
(–∞; 0)
(–∞; 0]
(0; ∞)
ℝ∖{0}
[0; ∞)
∅
(–1; 1)

X ≠
Y =
X₀ =
X⁺ =
X^– =
X↑ =
X↓1 =
X↓₂ =

ℝ
∅
(–2; ∞)
[–2; ∞)
(0; ∞)
[0; ∞)
{–2}
{0}

X =
Y =
X₀ =
X⁺ =
X^– =
X↑ =
X↓ =

Seotud sisu

Jäta meelde

Kui (a; b) ⊂ X ja m, n ∈ (a; b), siis

funktsioon on vahemikus (a; b):
m < n ⇒ f(m) < f(n).
funktsioon on vahemikus (a; b):
m < n ⇒ f(m) > f(n).

Märka

Kasvamist ja kahanemist uurides ei tohi võrrelda funktsiooni väärtusi, mille argumendid on võetud erinevatest kasvamis- või kahanemisvahemikest.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud

Seotud sisu

Funktsioon kasvab

Kasvamisvahemik

Märka

Näited

Näide 1. Kasvav funktsioon

Näide 2. Kasvamis­vahemik

Näide 3. Mitu kasvamist

Seotud sisu

Funktsioon kahaneb

Funktsioon kahaneb

Märka

Näited

Näide 1. Kahanev funktsioon

Näide 2. Kahanemis­vahemik

Näide 3. Mitu kahanemist

Seotud sisu

Mitte nii rangelt

Mittekahanev ja mittekasvav

Märka

Näide

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Hüperboolid

Paraboolid

Funktsiooni uurimine

Seotud sisu

Jäta meelde

Märka

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

Näide 2. Kasvamisvahemik

Näide 2. Kahanemisvahemik