Logaritmi põhiomadused. Logaritmimine ja potentseerimine

Korrutise logaritm
Jagatise logaritm
Astme logaritm
Logaritmimine ja potentseerimine
Astendaja leidmine

Seotud sisu

Korrutise logaritm

Teoreem 1

Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga.

$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$

Tõestus 1

Sama alusega astmete jaoks kehtib võrdus

a^m ⋅ aⁿ = a^m+n.

Asendame m ja n logaritmidega

m = log_a b ja n = log_a c

ning saame võrduse

$a^{\log_{a} b} \cdot a^{\log_{a} c} = a^{\log_{a} b + \log_{a} c} .$

Kuid

$a^{\log_{a} b} \cdot a^{\log_{a} c} = b c = a^{\log_{a} b + \log_{a} c} .$

Kui sama aluse astmed on võrdsed, siis ka astendajad on võrdsed:

$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ ■

Näide 1

Leiame avaldise väärtuse.

$\log_{2} \frac{25}{6} + \log_{2} \frac{60}{125} = \log_{2} (\frac{25 \cdot 60}{6 \cdot 125}) = \log_{2} 2 = 1$

log₃ 6 + log₃ 1,5 =
=log₃  =
log 500 + log 2 =
=log =
log_0,5 5 + log_0,5 12,8 + log_0,5 2 =
=
9 = log₂ =
log₂ 10 + log₂

Seotud sisu

Jagatise logaritm

Teoreem 2

Jagatise logaritm võrdub logaritmide vahega.

$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c$

Tõestus 2

Sama alusega astmete jaoks kehtib võrdus

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ .

Asendame m ja n logaritmidega

m = log_a b ja n = log_a c,

siis

$\frac{a^{\log_{a} b}}{a^{\log_{a} c}} = a^{\log_{a} b - \log_{a} c}$

ja

$\frac{a^{\log_{a} b}}{a^{\log_{a} c}} = \frac{b}{c} = a^{\log_{a} \frac{b}{c}} = a^{\log_{a} b - \log_{a} c} .$

Kui võrdsustame a astendajad, saamegi vajaliku võrduse

$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c .$ ■

Näide 2

$\log_{7} 98 - \log_{7} 2 = \log_{7} (98 : 2) = \log_{7} 49 = 2$
$\log_{3} \frac{18}{7} - \log_{3} \frac{2}{7} = \log_{3} (\frac{18}{7} : \frac{2}{7}) = \log_{3} 9 = 2$

$\log_{2} 15 - \log_{2} \frac{15}{16} = \log_{2} =$
$\log 12000 - \log 12 = \log =$
$3 = \log_{5} = \log_{5} - \log_{5} 3$
$\ln 8 = \ln 36 - \ln + \ln 2$

Seotud sisu

Astme logaritm

Teoreem 3

Astme logaritm võrdub astendaja ja astendatava logaritmi korrutisega.

$\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b$

Tõestus 3

Alustame astme astendamise reeglist

${(a^{n})}^{s} = a^{n \cdot s} .$

Asendame $n = \log_{a} b,$ siis

$a^{n} = a^{\log_{a} b} = b$

ning

$b^{s} = a^{s \cdot \log_{a} b} .$

Kuid logaritmi definitsiooni kohaselt

$b^{s} = a^{\log_{a} b^{s}} .$

Seega,

$a^{\log_{a} b^{s}} = a^{s \cdot \log_{a} b}$

ning $\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b .$

$\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b .$ ■

Märka

Kuna juurt võib vaadelda murdarvulise astendajaga astmena, siis kehtib 3. teoreem ka juurte korral ja üldiselt mis tahes reaalarvulise astendaja s korral.

Kuna

$\sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}},$

siis

$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} b .$

Näide 3

$\log_{5} 25^{6} = 6 \cdot \log_{5} 25 = 6 \cdot 2 = 12$
$\log_{3} \frac{1}{9^{4}} = \log_{3} 9^{- 4} = - 4 \cdot \log_{3} 9 = - 4 \cdot 2 = - 8$
$\log \sqrt[5]{100} = \log 100^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \log 100 = \frac{1}{5} \cdot 2 = 0, 4$

$\log_{3} 27^{7} = 7 \cdot =$
$\log_{6} 36^{36} = \cdot 2 =$
$\log_{5}^{6} = \cdot 4 =$
$\log_{} 64^{10} = \cdot = 30$

Seotud sisu

Logaritmimine ja potentseerimine

Kokkuvõte

Teoreemides 1–3 tõestatud logaritmide omadused saab kokku võtta üheks võrduseks:

${log}_{a} (b^{s} \cdot c^{t}) = s \cdot {log}_{a} b + t \cdot {log}_{a} c,$

b > 0 ja c > 0.

Logaritmimine

Avaldise logaritmi leidmist nimetatakse logaritmimiseks.

Potentseerimine

Avaldise leidmist selle logaritmi kaudu nimetatakse potentseerimiseks.

Märka

Logaritmi omaduste meelespidamiseks piisab ühest võrdusest.

Teoreemi 1 saame, kui

s = t = 1.

Teoreemi 2 saame, kui

s = 1 ja t =–1.

Teoreemi 3 saame, kui

c = 1.

Näited

Logaritmimine

Leiame kümnendlogaritmi avaldisest $\frac{x^{5} \cdot \sqrt{a^{2} + 1}}{{(x^{3} + 2)}^{4}},$ kui $x > 0, x^{3} + 2 > 0 .$

$\log \frac{x^{5} \cdot \sqrt{a^{2} + 1}}{{(x^{3} + 2)}^{4}} =$

$= 5 \log x + \frac{1}{2} \log (a^{2} + 1) -$ $4 \log (x^{3} + 2)$

Paneme tähele, et logaritme kahes viimases liikmes ei saa edasi teisendada.

Potentseerimine

Potentseerime avaldise

$A = 3 - 2 \log a + \frac{2}{3} \log (b + 1) -$ $5 \log (a^{3} + 3) .$

Vastavalt logaritmi definitsioonile

$3 = \log 10^{3} = \log 1000 .$

Järelikult A =

$= \log 1000 + \log a^{- 2} +$ $\log {(b + 1)}^{\frac{2}{3}} + \log {(a^{3} + 3)}^{- 5} =$

$= \log \frac{1000 \sqrt[3]{{(b + 1)}^{2}}}{a^{2} {(a^{2} + 3)}^{5}} .$

Vastus

Avaldise A potentseeritud avaldis on

$\frac{1000 \sqrt[3]{{(b + 1)}^{2}}}{a^{2} {(a^{2} + 3)}^{5}} .$

log $a \sqrt{b}$
log $\frac{a}{b^{2}}$
log $\frac{a^{2}}{b^{2}}$
log $a^{2} b$
log $\frac{\sqrt{a}}{b^{2}}$
log $\frac{b}{\sqrt{a}}$
log $\sqrt{a} b^{2}$
log $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

log a – 2log b =
2log a + log b =
0,5log b + log a =
0,5log a – 2log b =
2log a – 2log b =
log b – 0,5log a =
0,5(log a – log b) =
0,5log a+2log b =

Märka liidetavaid

Logaritmi summast või vahest ei saa vahetult teisendada.

${log}_{a} (A \pm B) \neq {log}_{a} A \pm {log}_{a} B$

A ja B on mingid avaldised.

Seotud sisu

Astendaja leidmine

Uued teadmised

Seniste teadmiste põhjal pidime võrrandis astendaja leidma proovimise teel. Nüüdseks oleme aga varustust täiendanud logaritmimise ja logaritmi omadustega, mis lihtsustavad astendaja leidmist.

Märka

Avaldist on mõistlik logaritmida kümnendlogaritmiga või naturaallogaritmiga, sest mõlemaid on võimalik lihtsalt taskuarvutiga leida.

Lahendus

Koostame võrduse mikroobide arvu kohta t tunni möödudes.

2^t =

Logaritmime võrduse pooli kümnendlogaritmiga.

2^t= $10^{}$

Rakendame astme logaritmi omadust.

⋅ log 2 = log 10

Avaldame muutuja t. Ümarda täistunniks.

$t = \frac{}{\log 2} \approx$

Vastus

tunni järel on mikroobe miljon.

Koosta avaldis aja t leidmiseks.

$1000 \cdot^{t} =$

Jaga avaldise pooled 1000-ga ja logaritmi naturaal- või kümnendlogaritmiga.

$^{}$ =

Avalda ja arvuta aeg t.

Vastus

Rahasumma kahekordistub aasta pärast.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

log₃ 6 + log₃ 1,5 =
3log_0,1 2 + 3log_0,1 5 =
$0, 5 \log_{4} 36 + \log_{4} 14 - 3 \log_{4} \sqrt[3]{21} =$
$2 \log_{3} 6 - 0, 5 \log_{3} 400 + 2 \log_{3} \sqrt{45} =$
$\log_{0, 2} \sqrt{3} - 0, 5 \log_{0, 2} 12 + \log_{0, 2} 50 =$

$n^{3} = m$
$m =$ $n^{2} - 3$
$m = 3^{n}$
$2^{m} =$ $n + 3$
${(n + 3)}^{10}$ $= m$
$10^{n + 3}$ $= m$
$n^{2 m}$ $= 3$
$3^{2 n}$ $= m$

$n =$ $\sqrt[3]{m}$
$n =$ $\pm \sqrt{m + 3}$
$n =$ $\log_{3} m$
$n =$ $2^{m} - 3$
$n =$ $m^{0, 1} - 3$
$n =$ $\log m - 3$
$n =$ ${(\sqrt{3})}^{\frac{1}{m}}$
$n =$ $\log_{3} \sqrt{m}$

$\ln 2$
$\ln (e + 2) + 1$
$0, 5 - \ln 2$
–0,5
$\ln 2 + 2$
$2 - \ln 2$
–2
$2 \ln (e + 2) - \ln 2$

Avaldis	Avaldise logaritm
$2 e^{2}$
$\frac{1}{\sqrt{e}}$
$\frac{\sqrt{e}}{2}$
$\frac{{(e + 2)}^{2}}{2}$
$2 e + e^{2}$
$\frac{e^{2}}{2}$

$a^{2}$
$a$
$a^{- 1}$
$a^{3}$
$a^{0, 5}$
$a^{- 0, 5}$
$a^{0, 2}$

Avaldis	Potentseeritud avaldis
$3 \log a + \log 1$
$\frac{\log a}{5} - \log 1$
$\log_{2} a + \frac{2 \log_{2} a^{3}}{3}$
$- 2 \log_{2} a + \frac{3 \log_{2} a}{2}$
$\log_{3} a \cdot (\log_{3} 15 - \log_{3} 5)$
$\ln a \cdot (\ln e^{2} - \ln \frac{1}{e})$

Märkus

Astendaja kirjutamisel kasuta märki ^.

Logaritmitud avaldis	Avaldis
$3 - \log_{3} 5$
$\ln (e + 1) - \ln 1$
$\log (\log 5 + \log 20)$
$2 \ln e^{- 2} \cdot (1 - 2 \ln e^{3})$

Koosta võrrand ööpäevade arvu x leidmiseks.

$^{x} =$

Avalda x naturaallogaritmide abil.

$x = \frac{}{}$

Arvuta x.

x ≈

Vastus

Selliseks lagunemiseks kulub umbes ööpäeva.

Vastvalminud küpsetise H_v = 1.

Küpsetamisjärgsel päeval on H_v = .
Selleks, et küpsetis oleks poole vähem maitsev kui valmides, kulub umbes päeva.
Küpsetise söömisest loobutakse üldjuhul, kui H_v ≤ 0,38. See juhtub päeval.

Seotud sisu

Jäta meelde

$\log_{a} b +$ $\log_{a} c =$
$\log_{a} b -$ $\log_{a} c =$
$c \log_{a} b$ =

$\log_{a} (b c)$
$\log_{a} \frac{b}{c}$
$\log_{a} b^{c}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Logaritmi põhi­omadused. Logaritmi­mine ja potent­seerimine

Seotud sisu

Korrutise logaritm

Teoreem 1

Tõestus 1

Näide 1

Seotud sisu

Jagatise logaritm

Teoreem 2

Tõestus 2

Näide 2

Seotud sisu

Astme logaritm

Teoreem 3

Tõestus 3

Märka

Näide 3

Seotud sisu

Logaritmimine ja potentseerimine

Kokkuvõte

Logaritmimine

Potentseerimine

Märka

Näited

Logaritmimine

Potentseerimine

Vastus

Märka liidetavaid

Seotud sisu

Astendaja leidmine

Uued teadmised

Märka

Lahendus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märkus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Logaritmi põhiomadused. Logaritmimine ja potentseerimine