Koosinusfunktsioon

Põhinurkade koosinus
Koosinusfunktsioon
Koosinusfunktsiooni graafik
Absoluutväärtus funktsiooni avaldisest

Põhinurkade koosinus

Märkus

Esimesed kuus antud väärtust on nurgad radiaanides ja viimased viis koosinuse võimalikud väärtused.

π
$\frac{π}{2}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{6}$
0 rad
$\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
1

α°	α rad	cos α
0°
30°
45°
60°
90°

Märka

Pane tähele, et esimese veerandi kõigi põhinurkade koosinuse väärtused saab esitada kujul

$\frac{\sqrt{k}}{2},$

kus k = 4, 3, 2, 1, 0.

Seotud sisu

Koosinusfunktsioon

Funktsioon y = cos x

Koosinusfunktsioon y = cos x seab igale nurgale x (radiaanides) vastavusse selle nurga koosinuse väärtuse.

Koosinusfunktsioon y = cos x on üks põhilistest elementaarfunktsioonidest.

Märka

Nurga α iga suurendamine või vähendamine täispöörde 2π võrra jätab lõpphaara samasse asendisse ja seega nurga koosinus ei muutu.

Järelikult on koosinusfunktsioon y = cos x perioodiline funktsioon perioodiga 2π.

Näide 1

Koosinusfunktsiooni üksikuid väärtusi saab arvutada ka siis, kui nurk on antud kraadides, näiteks

cos 60° = 0,5.

Kui aga koosinusfunktsiooni argument sisaldab muutujat, siis eeldame, et selle väärtused on radiaanides.

Näiteks avaldistes

cos(x + 7) ja cos y²

on muutujate x ja y väärtused eelduse kohaselt radiaanides.

Seotud sisu

Koosinusfunktsiooni graafik

Graafik ühikringi abil

Selgitused

Koosinuse graafiku võib konstrueerida ühikringi abil samamoodi nagu siinuse graafiku.

Koosinusfunktsiooni graafiku konstrueerimiseks joonestame ühikringi, mille keskpunkt on x-teljel.
Nurka α mõõdame ringi kesknurgana alates x-teljest.
Et ringi raadius on 1, siis x-teljel asuva halli punktix-koordinaat ongi nurga α koosinus, st cos α = x.
Kanname koosinuse väärtused x-telje positiivsele osale, kui x = α.
Täielikuma graafiku saamiseks jätkame seda perioodiliselt nii x-telje positiives kui ka negatiivses suunas.

Graafik ja koosinuslõik

Näeme, et siinus- ja koosinusfunktsiooni graafikuks on sama kujuga joon.
Koosinusfunktsiooni graafik on samuti sinusoid, kuid seda võib nimetada ka koosinusoidiks.
Musta lõiku joonisel roosa ja sinise punkti vahel nimetatakse koosinuslõiguks.

Sinusoidi teisendus

Koosinusfunktsiooni graafiku saab siinusfunktsiooni graafikust teisendusega

$\cos α = \sin (α + \frac{π}{2}) .$

Seotud sisu

Graafiku teisendused

Muutumismäng koosinusfunktsiooniga

Iseseisev töö

Muuda koosinusfunktsiooni

y = a · cos(bx + c) + d

kordajate a, b, c ja d väärtusi liuguritega ning uuri, kuidas muutub graafik.

Graafiku kuju muudab/muudavad

a
b
c
d

Graafiku asukohta teljestikus nihutab/nihutavad

a
b
c
d

Funktsiooni perioodi pikkust muudab/muudavad

a
b
c
d

Graafiku amplituudi muudab/muudavad

a
b
c
d

Mõtle

Leia õige valem joonistel 1–10 kujutatud koosinusfunktsiooni teisendusele.

Joonisel 1 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 2 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 3 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 4 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 5 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 6 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 7 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 8 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 9 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonisel 10 on funktsioon

$y = \frac{\cos x}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$
$y = 2 \cos \frac{x}{2}$
$y = - 2 \cos x$
$y = 2 \cos x$
$y = \cos 2 x$
$y = - \cos 2 x - 2$
$y = \frac{\cos 2 x}{2} - 1$
$y = - \cos x + 1$
$y = \cos x + 2$

Joonised 1–10

Seotud sisu

Koosinusfunktsiooni omadused

y = cos x omadused

Koosinusfunktsioon on perioodiline perioodiga 2π, st

cos(x + 2kπ) = cos x, kus k ∈ ℤ.

Määramis- ja muutumispiirkond

Määramispiirkond on kogu reaalarvude hulk

X = ℝ.

Muutumispiirkond on lõik miinus ühest üheni

Y = [–1; 1].

Paarsus

Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, sest

cos(–x) = cos x.

Koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline ordinaattelje suhtes.

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Positiivsuspiirkond koosneb vahemikest

$(- \frac{π}{2} + 2 k π; \frac{π}{2} + 2 k π)$ , kus k ∈ ℤ.

Negatiivsuspiirkond koosneb vahemikest

$(\frac{π}{2} + 2 k π; \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ , kus k ∈ ℤ.

Nullkohad

Koosinusfunktsiooni nullkohad on

$x_{k} = (2 k + 1) \frac{π}{2}$ , kus k ∈ ℤ

ehk

$X_{0} = \{x | x = (2 k + 1) \frac{π}{2}, k \in ℤ\} .$

Kasvamine ja kahanemine

Koosinusfunktsioon kasvab vahemikes

(–π + 2kπ; 0 + 2kπ), kus k ∈ ℤ.

Koosinusfunktsioon kahaneb vahemikes

(0 + 2kπ; π + 2kπ), kus k ∈ ℤ.

Ekstreemumkohad ja ekstreemumid

Maksimumkohad on

x_{max, k} = 2kπ, kus k ∈ℤ.

Miinimumkohad on

x_{min, k} = (2k + 1)π, kus k ∈ℤ.

Maksimaalne väärtus y_max = 1 ja minimaalne väärtus y_min = –1.

Märka

Koosinusfunktsiooni omaduste uurimisel piisab funktsiooni uurimisest ühe perioodi 2π pikkusel lõigul ja seejärel tuleb arvestada funktsiooni perioodilisust.

Koosinusfunktsiooni väärtuse märk erinevates veerandites on määratud muutuja x märgiga.
- Koosinusfunktsiooni väärtus on positiivne I ja IV veerandis ning
- negatiivne II ja III veerandis.

Uuri funktsiooni g(x) lõigul [0; 2π].

0
0,5π
π
1,5π
2π
4π
(0; 0,5π)
(0; π)
(0; 2π)
(π; 2π)
∅

Periood	p =
Nullkoht	x₁ =
Maksimumkoht	x_max =
Miinimumkoht	x_min =
X⁺ =
X^– =
X↑ =
X↓ =

Seotud sisu

Absoluutväärtus funktsiooni avaldisest

Absoluutväärtus siinus- ja koosinusfunktsioonist

Absoluutväärtus siinusfunktsioonist

Absoluutväärtus koosinusfunktsioonist

Märka

Kui funktsiooni avaldisest on võetud absoluutväärtus, siis

positiivsuspiirkonnas koos nullkohtadega jääb funktsiooni graafik muutumatuks,
negatiivsuspiirkonnas peegeldub aga graafik x-teljest.

f(x) = |sin x|

g(x) = 1 – |cos x|

Graafikute lõikepunktid vasakult paremale:
- (°; )
- (°; )
- (°; )
- (°; )
- (°; )
Milline teisendus tuleb teha funktsiooni g(x) graafikuga, et see kattuks funktsiooni f(x) graafikuga?

f(x) = g(x + °)

Funktsioonid f(x) ja g(x)

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Funktsiooni f(x) periood on ning g(x) periood on

Leia funktsiooni g(x) muutumispiirkond, nullkohad ja ekstreemumkohad lõigul [0; 2π].

Y =

X₀ =

X_e =

Funktsiooni valem

g(x) =

Lõigul [–π; 0] on suuremad väärtused funktsioonil

Lõigul $[- \frac{5 π}{3}; 3 π]$ on funktsioonidel ühist nullkohta.

Kohal x = –0,75π on

Lõigul [0,5π; 2π] lõikuvad graafikud punktis

$(\frac{π}{}; - \frac{\sqrt{}}{}) .$

Joonis

Kopeeri siit π või kirjuta pi.

Joonisel on funktsiooni y = cos x + graafik.
Funktsiooni kahanemisvahemik lõigul [–π; 2π]on

X↓ = (; ).

Funktsiooni y = sin x väärtused on nimetatud kahanemispiirkonnas

positiivsed.
negatiivsed.
nii positiivsed kui ka negatiivsed.

Seotud sisu

Jäta meelde

Y =

X⁺ =

X^– =

X₀ =

0
$\frac{π}{2}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{3 π}{2}$
π
2π

X↑ =

X↓ =

X_e =

0
$\frac{π}{2}$
$\frac{3 π}{2}$
π
2π
$\frac{π}{3}$

Funktsioon y = cos x

Graafik

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Koosinus­funktsioon

Seotud sisu

Põhinurkade koosinus

Märkus

Märka

Seotud sisu

Koosinusfunktsioon

Funktsioon y = cos x

Märka

Näide 1

Seotud sisu

Koosinusfunktsiooni graafik

Graafik ühikringi abil

Selgitused

Graafik ja koosinuslõik

Sinusoidi teisendus

Seotud sisu

Graafiku teisendused

Muutumismäng koosinusfunktsiooniga

Iseseisev töö

Mõtle

Joonised 1–10

Seotud sisu

Koosinusfunktsiooni omadused

y = cos x omadused

Määramis- ja muutumispiirkond

Paarsus

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

Nullkohad

Kasvamine ja kahanemine

Ekstreemumkohad ja ekstreemumid

Märka

Seotud sisu

Absoluutväärtus funktsiooni avaldisest

Absoluutväärtus siinus- ja koosinusfunktsioonist

Absoluutväärtus siinusfunktsioonist

Absoluutväärtus koosinusfunktsioonist

Märka

Funktsioonid f(x) ja g(x)

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Joonis

Seotud sisu

Jäta meelde

Graafik

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Koosinusfunktsioon

Funktsioon y = cos x

y = cos x omadused