Võrrandite ja võrratuste graafiline lahendamine

Trigonomeetrilised võrrandid
Võrrandi sin x = a erilahendid
Võrrandi cos x = a erilahendid
Võrratused

Seotud sisu

Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendina.

Trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks nimetatakse trigonomeetrilisi võrrandeid kujul

sin x = a,

cos x = a,

tan x = a,

cot x = a.

Märka

Siin peatükis õpid lahendama graafiliselt trigonomeetrilisi põhivõrrandeid.

Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, saab vastavatel võrranditel olla lõpmata palju lahendeid.

Näited

Trigonomeetrilised võrrandid on

sin²x – 6sin x = 1

cos 5x + sin 3x = 0

Trigonomeetrilised võrrandid ei ole

sin²x – x = 1

cos 5 + sin 3 = y

$sin 10 b = 10$
$6 tan α = 1$
$sin 5 y + y = cos y$
${tan}^{3} 30 ° = x$
$b sin 7 b = 2 π$
$x sin 3 + x cos 4 = 0$
$2 {cos}^{2} x + {cos}^{2} y = 1$
$sin 3 x + cos 4 x = π$

Lahend ja erilahend

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine eeldab kõikide lahendite leidmist. Kuna lahendeid on lõpmata palju, leitakse üldlahendi avaldis, mis võimaldab vajaduse korral täpselt arvutada kindla lahendi mis tahes piirkonnas.
Trigonomeetrilise võrrandi lahend või lahendid kindlas piirkonnas on võrrandi erilahendid.

Seotud sisu

Võrrandi sin x = a erilahendid

Koostame joonise.
Joonisel 1 on siinusfunktsiooni graafik. Lohista õigele kohale sirge y = 0,5.
Leiame lahendite arvu.
Võrrandi lahenditeks on sinusoidi ja sirge lõikepunktide abstsissid. Järelikult on sellel lõigul lahendit.
Leiame lahendid esimeses perioodis.
Funktsiooni y = sin x väärtus on 0,5

I veerandis, kui

$x_{1} = ° = \frac{π}{} .$

II veerandis, kui

x₂ = 180° – x₁ = °.

Avaldame ülejäänud lahendid.
Esimesel perioodil rohkem lahendeid ei leidu. Ülejäänud lahendite leidmisel tuleb esimese perioodi lahenditele liita täisarv korda perioodi 360°. Seega

x₃ = x₁ + 360° = °,

x₄ = x₂ + 360° = °.

Joonis 1

x₁ on lahend, mille saad arvutada kalkulaatoriga:

sin^–1 a = x₁

Märka

Kui x₁ on põhinurk, saab lahendid leida jooniselt arvutusi tegemata.
Kõik lahendid asuvad funktsiooni y = sin x nullkohtadest x₁ võrra vasakul või paremal.

Mõtle

sin x = –0,5 lõigul [–90°; 450°]
x₁ = °, x₂ = °, x₃ = °
sin x = 1 lõigul [0°; 540°]
x₁ = °, x₂ =°
sin x = 0,5 lõigul [90°; 450°]
x₁ = °, x₂ = °
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ lõigul [270°; 540°]
x₁ = °, x₂ = °

Märkus

Joonisel y = √3/2 ≈ 0,9.

$- \frac{π}{2}$
$- \frac{π}{3}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{6}$
0
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{2}$
$\frac{5 π}{6}$
π
$\frac{5 π}{4}$
$\frac{3 π}{2}$
$\frac{7 π}{4}$
$\frac{11 π}{6}$
2π
$\frac{13 π}{6}$

sin x = 0,5 lõigul $[0; \frac{5 π}{2}]$
; ;
sin x = –1 lõigul $[- \frac{π}{2}; 2 π]$
;
sin x = 0 lõigul [0; 2π]
; ;
$sin x = -0,5 \sqrt{2}$ lõigul $[- \frac{π}{2}; 2 π]$
; ;

Seotud sisu

Võrrandi cos x = a erilahendid

Koostame joonise.
Joonisel 2 on koosinusfunktsiooni graafik. Lohista õigele kohale sirge y = 0,5.
Leiame lahendite arvu antud lõigul.
Võrrandi lahenditeks on koosinusoidi ja sirge lõikepunktide abstsissid. Järelikult on sellel lõigul lahendit.
Leiame lahendid y-telje ümbruses.
Funktsiooni y = cos x väärtusele 0,5 vastab

I veerandi nurk

$x_{1} = ° = \frac{π}{} .$

Teine lahend on x₁peegeldus üle y-telje.

x₂ = – x₁ = °

Avaldame ülejäänud lahendid.
Ülejäänud lahendite leidmisel tuleb esimesele kahele lahendile liita täisarv korda perioodi 360°. Seega,

x₃ = x₁ – 360° = °

x₄ = x₂ + 360° = °

Joonis 2

x₁ on lahend, mille saad arvutada kalkulaatoriga:

cos^–1 a = x₁

Märka

Võrrandi cos x = a

Negatiivsed lahendid on positiivsete lahendite peegeldused üle ordinaattelje.

Lahendid asuvad sümmeetriliselt ekstreemumkohtade suhtes.

Mõtle

 cos x = 1 lõigul [–360°; 360°].
x₁ = °, x₂ = °, x₃ =
 cos x = 0 lõigul [–180°; 180°]
x₁ = °, x₂ =°
cos x = –0,5 lõigul [–180°; 180°]
x₁ = °, x₂ =
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ lõigul [0°; 360°]
x₁ = °, x₂ = °

Märkus

Joonisel y = √3/2 ≈ 0,9.

$- π$
$- \frac{π}{2}$
$- \frac{π}{4}$
$- \frac{π}{6}$
0
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{π}{2}$
$\frac{5 π}{3}$
$π$
$\frac{3 π}{4}$
$\frac{7 π}{3}$
$\frac{3 π}{2}$
$\frac{5 π}{4}$
$2 π$

cos x = 0,5 lõigul $[0; \frac{5 π}{2}]$
; ;
cos x = –1 lõigul [–2π; 2π]
;
cos x = 0 lõigul [–π; 2π]
; ;
$\cos x = - 0, 5 \sqrt{2}$ lõigul [0; 1,5π]
;

Seotud sisu

Võrratused

Siinus võrratuses

Uurime jooniselt 3, millises piirkonnas on y = sin x graafik madalamal kui sirge y = 0,5.
Vaadeldavas piirkonnas on sinusoidil ja sirgel lõikepunkti. Nende lõikepunktide abstsissid on

x₁ = °,

x₂ = °.

Näeme, et sinusoid jääb sirgest allapoole piirkonna alguspunktist x₁-ni ja x₂-st piirkonna lõpuni.
Piirkonna alguspunktis 0° ja lõpppunktis 360° on funktsiooni y = sin x väärtused väiksemad kui 0,5. Järelikult kuuluvad need kohad lahendihulka.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on L = [0°; 30°) ∪ (150°; 360°].

Uurime jooniselt 3, millises piirkonnas on y = sin x graafik kõrgemal või samas kohas kui sirge y = –0,5.
Vaadeldavas piirkonnas on sinusoidil ja sirgel lõikepunkti. Nende lõikepunktide abstsissid on

x₁ = °,

x₂ = °,

x₃ = °.

Näeme, et sinusoid jääb sirgest ülespoole piirkonna alguspunktist x₁-ni ja x₂-st x₃-ni.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on

L = [°; °] ∪ [°; °].

Joonis 3

Koosinus võrratuses

Uurime jooniselt 4, millises piirkonnas on y = cos x graafik kõrgemal kui sirge y = 0,5.
Vaadeldavas piirkonnas on koosinusoidi ja sirge lõikepunktide abstsissid

x₁ = °,

x₂ = °,

x₃ = °.

Näeme, et koosinusoid jääb sirgest ülespoole x₁-st x₂-ni ja x₃-st piirkonna lõpuni.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on
L = (°; °) ∪ (°;

Uurime jooniselt 4, millises piirkonnas on y = cos x graafik madalamal või samas kohas, kus sirge y = 0,5.
Vaadeldavas piirkonnas on koosinusoidi ja sirge lõikepunktide abstsissid

x₁ = °,

x₂ = °.

Näeme, et koosinusoid jääb sirgest allapoole piirkonna alguspunktist x₁-ni ja x₂-st piirkonna lõpuni.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on

L = [°; °] ∪ [°; 180°].

Joonis 4

(30°; 150°)
(45°; 135°)
(60°; 120°)
(225°; 315°)
(0°; 30°)∪(15°; 360°)
[0°; 30°)∪(150°; 360°]
(0°; 60°)∪(120°; 360°)
[0°; 60°)∪(120°; 360°]
(30°; 330°)
(60°; 120°)
(45°; 315°)
(135°; 225°)
(0°; 45°)∪(315°; 360°)
[0°; 45°)∪(315°; 360°]
(0°; 60°)∪(300°; 360°)
[0°; 60°)∪(300°; 360°]

Võrratus	Lahendihulk
$\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Joonis 5

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Trigonomeetrilised võrrandid

$- π$
$- 0,5 π$
0
0,5π
π
$\frac{π}{3}$
$\frac{2 π}{3}$
$\frac{3 π}{4}$
$\frac{9 π}{4}$
$\frac{7 π}{2}$
$\frac{11 π}{2}$
$\frac{13 π}{2}$
$\frac{7 π}{6}$
$\frac{11 π}{6}$
∅

Võrrand	Lahendid
sin x = 0, x ∈ [0; π]	;
sin x = –0,5, x ∈ [0; 2π]	;
sin x = 2, x ∈ [–2π; 2π]
sin x = –1, x ∈ [2π; 4π]
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2},$ $x \in [\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},$ $x \in [- π; π]$	;

$- π$
$- 0,5 π$
$- \frac{π}{6}$
0
0,5π
π
$\frac{π}{3}$
$\frac{2 π}{3}$
$\frac{4 π}{3}$
$\frac{3 π}{4}$
$\frac{7 π}{4}$
$\frac{9 π}{4}$
$\frac{11 π}{2}$
$\frac{13 π}{2}$
$\frac{7 π}{6}$
$\frac{11 π}{6}$
∅

Võrrand	Lahendid
cos x = 0, x ∈ [–π; π]	;
cos x = –0,5, x ∈ [0; 2π]	;
cos x = –1, x ∈ [–2π; 2π]	;
cos x = π, x ∈ [2π; 4π]
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2},$ $x \in [\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$	;
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2},$ $x \in [- π; 0]$

sin x – 1 = –1,5 lõigul [0°; 360°], x ∈

sin x – 1 = –2 lõigul [–360°; 360°], x ∈

sin x – 1 = 0 lõigul [–360°; 360°], x ∈

Tee muutuja vahetus x + 30° = t ja teisenda võrrand põhivõrrandiks.

cos t =

Leia põhivõrrandi lahendid lõigul

[–180° + 30°; 240° + 30°] =

= [–150°; 270°].

t₁ = °

t₂ = °

t₃ = °

Vastus

Võrrandi lahendid on
x₁ = °, x₂ = ° ja x₃ = °.

390°
60°
420°
30°
–210°
–330°
–420°
–300°
150°
660°

Võrrand	Lahendid
sin x + cos x = 0	x = °
sin 2x + cos x = 0	x₁= ° x₂ = ° x₃= °
sin x + cos 2x = 0	x₁ = ° x₂ = °
sin x – cos x = 0	x = °
sin 2x – cos x = 0	x₁ = ° x₂ = ° x₃ = °

Lõikuvate joonte joonis

$\cos \frac{x}{2} < 1$

$(- \frac{5 π}{2}; - \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$
$(- \frac{7 π}{3}; - \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}; \frac{7 π}{3})$
$(- \frac{10 π}{3}; - \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}; \frac{10 π}{3})$
(–4π; 0) ∪ (0; 4π)

$\cos \frac{x}{2} < \frac{1}{2}$

$(- \frac{5 π}{2}; - \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$
$(- \frac{7 π}{3}; - \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}; \frac{7 π}{3})$
$(- \frac{10 π}{3}; - \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}; \frac{10 π}{3})$
(–4π; 0) ∪ (0; 4π)

$\cos \frac{x}{2} < - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$(- \frac{5 π}{2}; - \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$
$(- \frac{7 π}{3}; - \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}; \frac{7 π}{3})$
$(- \frac{10 π}{3}; - \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}; \frac{10 π}{3})$
(–4π; 0) ∪ (0; 4π)

$\cos \frac{x}{2} < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(- \frac{5 π}{2}; - \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$
$(- \frac{7 π}{3}; - \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}; \frac{7 π}{3})$
$(- \frac{10 π}{3}; - \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}; \frac{10 π}{3})$
(–4π; 0) ∪ (0; 4π)

Märka

Kui on antud näiteks võrrand 2cos x – sin x = 0, siis võib seda vaadelda võrrandina 2cos x = sin x ning leida kahe joone lõikepunktid, st lahendada võrrandisüsteem

$\{\begin{cases} y = 2 \cos x \\ y = \sin x . \end{cases}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Võrrandite ja võrratuste graafiline lahendamine

Seotud sisu

Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilised võrrandid

Märka

Näited

Lahend ja erilahend

Seotud sisu

Võrrandi sin x = a erilahendid

Joonis 1

Märka

Mõtle

Märkus

Seotud sisu

Võrrandi cos x = a erilahendid

Joonis 2

Märka

Mõtle

Märkus

Seotud sisu

Võrratused

Siinus võrratuses

Vastus

Vastus

Joonis 3

Koosinus võrratuses

Vastus

Vastus

Joonis 4

Joonis 5

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Trigonomeetrilised võrrandid

Vastus

Lõikuvate joonte joonis

Märka

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Võrrandi sin x = a erilahendid

Võrrandi cos x = a erilahendid