Ringjoone võrrand

Ringjoone võrrand
Ringjoone üldvõrrand
Ringjoone võrrand läbi kolme punkti

Pythagorase teoreemi järeldus

Kõik punktid P(x; y), mis asuvad koordinaatide alguspunktist samal kaugusel r, rahuldavad võrrandit

x² + y² = r².

Tõepoolest, mis tahes koordinaatveerandis saame moodustada täisnurkse kolmnurga kaatetitega a = $|x|$ , b = $|y|$ ja hüpotenuusiga r. Seega on võrrand Pythagorase teoreemi järeldus.

Pool ringjoont

Mõtle kaasa

Joonisel on ringjoon keskpunktiga (0; 0) ja raadiusega
r = $2 \sqrt{5} .$

Ringjoone võrrand on

x² + y² = 20, sest

P(4; –2) asub ringjoonel ning
$\vec{P O}$ = $\vec{} .$

Raadius r =

$|\vec{P O}| =$ $\sqrt{{()}^{2} +^{2}} =$ $\sqrt{}$ = $2 \sqrt{5}$ .

Puutepunkti tõmmatud raadius on puutujaga.

$\vec{r}$ = $\vec{P O}$ =

$\vec{s}$ =

$\vec{r} \cdot \vec{s}$ =

x² + y² = 20

Puutuja võrrand punktiga P(4; –2) ja $\vec{s}$ või $\vec{r}$ on
Diameetri võrrand punktiga P(4; –2) ja $\vec{s}$ või $\vec{r}$ on

m on

Seotud sisu

Ringjoone võrrand

Olgu ringjoone keskpunktiks P(x₀ ;y₀) ja punkt Q(x; y) selle ringjoone suvaline punkt. Sel juhul on ringjoone raadiuseks nende punktide vaheline kaugus, seega lõigu PQ või vektori pikkus $\vec{P Q} .$ Lõigu PQ pikkuse ruut on aga raadiuse ruuduks.

${|\vec{P Q}|}^{2} = {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$

See ongi ringjoone võrrand.

Ringjoone võrrand

keskpunktiga P(x₀; y₀) ja raadiusega r on

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$ .

Nii esitatud ringjoone võrrandit nimetatakse vahel kanooniliseks võrrandiks.

Näide 3

Leiame sellise ringjoone võrrandi, mille keskpunkt on A(–2; 5) ja mis läbib punkti B(1; 3).

Lahendus

Et ringjoone keskpunkt on antud, siis tuleb leida vaid ringjoone raadius. Raadiuse ruuduks on lõigu AB pikkuse ruut:

r² = AB² = (1 + 2)² + (3 – 5)² = 13.

Vastus

Otsitava ringjoone võrrand on (x + 2)² + (y – 5)² = 13.

200
20
$2 \sqrt{10}$
2
4
≈ 0,6
0,2
0,02
(0; 0)
(0; 1)
(0; –1)
(1; 0)
(–1; 0)
(1; –1)
(–1; 1)
(1; 1)

(x + 1)² + (y – 1)² = 40
P, r =
(x – 1)² + (y – 1)² = 4
P, r =
x ² + (y – 1)² = 400
P, r =
(x + 1)² + y ² = 0,4
P, r =

Seotud sisu

Ringjoone üldvõrrand

Kui ringjoone võrrandis ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$ sulud avada, saame

x² – 2x₀x + x₀² + y² – 2y₀y + y_o² = r²,

x² + y²– 2x₀x – 2y₀y + x₀² + y_o² – r² = 0.

Et võrrandi mõlemat poolt võib korrutada mingi nullist erineva arvuga a, siis võime ringjoone võrrandi esitada kujul

ax² + ay² + bx + cy + d = 0,

kus b = –2ax₀, c = –2ay ja d = a(x₀² + y_o² – r²). Saadud võrrandit nimetatakse ringjoone üldvõrrandiks.

Märka

Seega võib kahe muutuja ruutvõrrand olla ringjoone võrrandiks, kui

muutujate ruutude x² ja y² kordajad on võrdsed,
avaldises pole muutujate korrutist xy.

Kui teisendada avaldis sulgudega kujule, siis võib juhtuda, et võrrandi paremaks pooleks jääb negatiivne konstant, mis ei saa olla reaalarvulise raadiuse ruuduks. Sel juhul üldkujul esitatud võrrand ei ole reaalse ringjoone võrrandiks.

Näide 4

x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0
x² + y² – 10x + 6y + 40 = 0
x² + y² + 4x – 12y + 43 = 0
x² + y² + 6x + 2y – 12 = 0
x² + y² – 2x + 6 = 0
x² + y² + 4y – 12 = 0

Neist suurima raadiusega ringjoone võrrand on

()² + ()² = .

Seotud sisu

Ringjoon läbi kolme punkti

Ülesannet saab lahendada kanoonilise võrrandi

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$

kaudu, kus asendame muutujad x ja y antud punktide koordinaatidega. Tulemuseks on kolme võrrandiga süsteem kolme tundmatuga x₀, y₀ ja r.

Need on ruutvõrrandid tundmatute suhtes, kuid kui lahutame võrrandeid, koonduvad ruutliikmed välja.

Süsteemi jääb kaks lineaarvõrrandit kahe tundmatuga x₀ ja y₀, mille lahendamine on tuttav.

Näide 5

Leiame sellise ringjoone võrrandi, mis läbib punkte A(2; 4) , B(5; 5) ja C(9; 3).

Iga punkt peab rahuldama ringjoone võrrandit raadiusega r.
$\{\begin{cases} {(2 - x_{0})}^{2} + {(4 - y_{0})}^{2} = r^{2} \\ {(5 - x_{0})}^{2} + {(5 - y_{0})}^{2} = r^{2} \\ {(9 - x_{0})}^{2} + {(3 - y_{0})}^{2} = r^{2} \end{cases}$
Avame sulud ja korrastame süsteemi.
$\{\begin{cases} x_{0}^{2} - 4 x_{0} + y_{0}^{2} - 8 y_{0} + 20 = r^{2} \\ x_{0}^{2} - 10 x_{0} + y_{0}^{2} - 10 y_{0} + 50 = r^{2} \\ x_{0}^{2} - 18 x_{0} + y_{0}^{2} - 6 y_{0} + 90 = r^{2} \end{cases}$
Kui lahutame esimesest võrrandist teise ja teisest kolmanda, saame lineaarvõrrandisüsteemi kahe tundmatuga.
$\{\begin{cases} 6 x_{0} + 2 y_{0} - 30 = 0 \\ 8 x_{0} - 4 y_{0} - 40 = 0 \end{cases}$ ehk

$\{\begin{cases} 3 x_{0} + y_{0} = 15 \\ 2 x_{0} - y_{0} = 10 \end{cases}$
Selle süsteemi lahendid on x₀ = 5 ja y₀= 0.
Leiame raadiuse ruudu ükskõik millise võrrandi kaudu
r² = (2 – 5)² + (4 – 0)² = 25.

Vastus

Ringjoone võrrand on (x – 5)² + y² = 25.

Märka

Leiame sellise ringjoone võrrandi, mis läbib punkte A(2; 4), B(5; 5) ja C(9; 3)

Teise lahendusviisi korral kasutame tõsiasja, et otsitav keskpunkt on võrdsel kaugusel antud punktidest. Kuid kõik punktid, mis on võrdsel kaugusel punktidest A ja B, asuvad lõigu AB keskristsirgel s. Kõik punktid, mis on võrdsel kaugusel punktidest B ja C, lõigu BC keskristsirgel t. Sirgete s ja t lõikepunkt on ringjoone keskpunkt.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

x² + y² – 2x + 5y – 9 = 0
- A(3; 1)
- B(2; 5)
x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0
- C(–2: –4)
- D(–3; –2)
x² + y² – x – 3 = 0
- E(2; –1)
- F(–2, 0,5)

x² + y² = 1
- A(3; –8) on
- $B (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ on
- C(0,2; –0,5) on
x² + (y + 1)² = 1
- D(0; –2)
- E(1; –1)
- F $(- \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{2}}{2})$
(x – 1)² + y² = 1
- G(2; 2)
- H $(2; \frac{1}{2})$
- I $(\sqrt{3}; \sqrt{2 \sqrt{3} - 3})$

Keskpunkt on P(–1; 0) ning raadius $\sqrt{5} .$
Ringjoone üldvõrrand on
Keskpunkt on P(2; –5) ning raadius $\sqrt[4]{5} .$
Ringjoone üldvõrrand on

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^, sqrt(), √

Keskpunkt (1; –1) ning joon läbib punkti (2; 2). Ringjoone üldvõrrand on
Keskpunkt (0; –4) ning joon läbib punkti (4; 5).Ringjoone üldvõrrand on

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

Diameetri otspunktid on (0; 0) ja (–4; 6). Ringjoone võrrand on
Raadius otspunktidega (1; 1) ja (–1; 1). Ringjoone võrrand on

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

Antud on kaks korda väiksema raadiusega kontsentriline ringjoon x² + 2y + 4x – 2y = 4. Otsitav võrrand on
Teada on kolm punkti ringjoonel (4; –5), (–1; 0), (7; 4).Ringjoone võrrand on

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

(x –1)² + (y + 1)² = 8
- K(; )
- r ≈
- puutuja punktis
  P(3; ) on
x² + y² + 10x + 4y + 26 = 0
- K(; )
- r ≈
- puutuja punktis
  P(–6; ) on

Seotud sisu

Tunne ära

x²+ y² = 2
x² + (y – 1)² = 2
(x + 1)² + y² = 2
(x – 1)² + (y – 1)² = 2
(x – 1)² – (y – 1)² = 2
x² + y² – 8x = 0
x² + y² – 6y + 4 = 0
x² + y² + 10x + 4y + 26 = 0
x² + y² + 10x + 4y – 2xy = 0

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ringjoone võrrand

Seotud sisu

Pythagorase teoreemi järeldus

Pool ringjoont

Mõtle kaasa

Seotud sisu

Ringjoone võrrand

Ringjoone võrrand

Näide 3

Leiame sellise ringjoone võrrandi, mille keskpunkt on A(–2; 5) ja mis läbib punkti B(1; 3).

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Ringjoone üldvõrrand

Märka

Näide 4

Seotud sisu

Ringjoon läbi kolme punkti

Näide 5

Vastus

Märka

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^, sqrt(), √

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

Vajalikud tähistused võid kleepida siit või sisestada avaldis lineaarses kirjaviisis: ², ^2, sqrt(), √

Seotud sisu

Tunne ära

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid