Veel jooni ja nende võrrandeid

Parabooli võrrand
Hüperbooli võrrand
Ellips ja veel mõned jooned

Seotud sisu

Parabool

Parabooli võrrand on

y = ax² + bx + c.

Parabooli võrrandis on kolm konstanti:

ruutliikme kordaja a,
lineaarliikme kordaja b,
vabaliige c.

Need kolm kordajat saab leida, kui on antud kolm parabooli punkti:

P(x₁; y₁),
Q(x₂; y₂),
R(x₃; y₃).

Lahendada tuleb kolme tundmatuga (a, b, c) lineaarvõrrandisüsteem.

$\{\begin{cases} a x_{1}^{2} + b x_{1} + c = y_{1} \\ a x_{2}^{2} + b x_{2} + c = y_{2} \\ a x_{3}^{2} + b x_{3} + c = y_{3} \end{cases}$

Märka

Kui parabooli võrrand on teada, saab selle joone visandada kolme punkti kaudu.

Seotud sisu

Hüperbool

Hüperbooli võrrand on $y = \frac{k}{x}$

Hüperbooli võrrandis saab kordaja k määrata, kui on teada üks punkt P(x₁; y₁), mis asub hüperboolil.
Hüperboolil on katkevuskoht kohal x = 0.
Kui muutuja x absoluutväärtus kasvab tõkestamatult, siis muutuja y väärtus läheneb nullile ja graafik läheneb x-teljele.

Märka

Kui kordaja k on positiivne, asuvad hüperbooli harud esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Kui aga k on negatiivne, on harud teises ja neljandas veerandis.

Seotud sisu

Jooned ja nende nimed

Järgnev osa on kokku pandud matemaatikas tuntud joontest. Tasub tähelepanu pöörata joonte võrranditele, astmetele, mida need sisaldavad ning joonte ja kordajate vahelistele seostele.

Teist järku jooneks

nimetatakse kõigi selliste punktide hulka tasandil, mille koordinaadid x ja y rahuldavad võrrandit

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Parabool, hüperbool ja ringjoon on teist järku jooned.

Ellips

Ellips,

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, a = 4, b = 3

Ellipsit uuris juba Menaechmus, kes oli Platoni ja Eudoxose õpilane. Ellipsi fookused leidis Pappos. Sõna „fookus“ pärineb Keplerilt, kelle esimene seadus ütleb, et kõik planeedid tiirlevad ümber Päikese mööda ellipsikujulisi orbiite, mille ühes fookuses asub Päike.

Agnesi lokk

y (x^{2} + a^{2}) = a^{3}

, a = 3

See joon on nime saanud tema uurija Maria Agnesi järgi, kes ise nimetas joont versiera'ks, mis tähendab itaalia keeles nõida.

Siugjoon

x^{2} y + a b y - a^{2} x = 0

, a= 5, b =2

Siugjoont uuris 1701. aastal Newton ja kandis selle oma 3-ndat järku joonte klassifikatsiooni.

Poolkuupparabool

Poolkuupparabool y³= ax², a = 2

Seda joont uuris ja kirjeldas inglise matemaatik William Neile aastal 1657.

Kardioid

{(x^{2} + y^{2} - 2 a x)}^{2} = 4 a^{2} (x^{2} + y^{2})

, a = 1

Kardioidi nimi vihjab südamekujulisusele ja see nimi pärineb itaalia matemaatiku ja filosoofi Castillon’i tööst aastast 1741.

Strofoid

y^{2} = x^{2} \frac{(a - x)}{(a + x)}

, a = 3

Strofoid tähendab kreeka keeles keerdumist. Esimesena esineb see joon Isaac Barrow’ töös aastast 1670.

Ellips

Punktihulka tasandil, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist (fookusest) on konstantne ja suurem kui fookustevaheline kaugus, nimetatakse ellipsiks.

Ellipsi võrrand on $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Arvud a ja b on ellipsi pooltelgede pikkused.
Ellips on teist järku joon.
Ringjoont saab vaadelda kui ellipsi erijuhtu.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Leia lineaarvõrrandisüsteemi võrrandid.

a – b + c = 1
a – b + c = –1
a + b + c = –5
25a – 5b + c = 0
4a –2b + c = 2
4a + 2b + c = –2

punktiga P :

punktiga Q:

punktiga R:

Vastus

y = ax² + bx + c kordajad:

a = ,
b = ,
c = .

Joonte ühised punktid on (–1; –4), (4; 1) ja $(- 3; - 1 \frac{1}{3}) .$

Hüperboolil $y = \frac{a}{x}$ ja paraboolil saab olla sümmeetriatelge.
Hüperbooli võrrand
$y = \frac{}{x}$ .
Parabooli võrrand
$y = \frac{}{} x^{2} - \frac{}{}$ .

Vertikaalset silmust läbides teeb sõitja 360-kraadise pöörde. Sõiduradade konstrueerimiseks on vaja tunda füüsikat, kuid neid silmuseid saab matemaatiliselt simuleerida, kasutades erineva raadiusega ringe.