Joonte lõikumine

  • Joonte lõikepunktide arv
  • Ühine puutuja
  • Joonte lõikepunktide leidmine
Seotud sisu
Muud tegevused

Lõikepunktid ja nende arv

Kahel vaadeldaval joonel võib olla ühest kuni nelja lõikepunktini, kuid võib juhtuda, et need jooned ei lõikugi. Lõikepunktide arv sõltub joonte tüübist ja asendist. Lõikepunktide leidmiseks tuleb lahendada joonte võrranditest moodustatud võrrandisüsteem.

Ringjoone ja sirge lõikumise võimalusi
Parabooli ja sirge lõikumise võimalusi
Hüperbooli ja sirge lõikumise võimalusi
Ringjoone ja parabooli lõikumise võimalusi
Ringjoone ja hüperbooli lõikumise võimalusi
Parabooli ja hüperbooli lõikumise võimalusi

Märka

Kui vaadeldaval võrrandisüsteemil on kahekordne lahend punktis P, siis on see punkt joonte puutepunktiks. 

Kaks kõverjoont puutuvad punktis P, kui neil on selles punktis ühine puutuja

Mõtle kaasa

  1. Lahendame võrrandisüsteemi 
    4x-9y-6=0xy=2
  2. Asendusvõtte korral tuleb üks muutuja avaldada teise kaudu ning asendada teises võrrandis see muutuja saadud avaldisega. Mõistlikum on avaldada üks tundmatutest esimesest võrrandist. 
  3. Avaldame muutuja x ja saame 
    x=19y+6.
  4. Asendame tundmatu x teises võrrandis saadud avaldisega, lihtsustame ja vabaneme murdudest.
    149y+6y=2  ehk
    9y2 + y –  = 0.
  5. Kui lahendame ruutvõrrandi ning arvutame saadud muutuja y  väärtuste põhjal muutuja x väärtused, saame joonte lõikepunktide koordinaadid.

Vastus

Joonte lõikepunktid on  A;3  ja  B;3

  1. Koostame võrrandisüsteemi. 
    (x+2)2+(y-1)2=4y=3-0,5(x+2)2
  2. Selles süsteemis ei ole mõistlik avaldada muutujat x või y, vaid avaldame teisest võrrandist kaksliikme ruudu
    (x + 2)2 =2(3 – y).
    Pärast selle kirjutamist esimesse võrrandisse saame ruutvõrrandi muutuja y suhtes.

  ()2+2()=4

  1. Lahendame ruutvõrrandi.
     y1 =  < y2 = .
  • Leiame x1 ≠ x2.

Kui y = 1, siis (x + 2)2 = ,
seega x + 2 = ±. 
Nii on teada punktid 
A(–;) ja B(;).

  • Leiame x3 = x4.

Kui y = 3, siis (x + 2)2 = ,
seega x + 2 = . Siin 
Nüüd on teada punkt 
C(;) .

Vastus

Ringjoon  parabooli punktis C ja  parabooli punktides A ja B.

Näide 3

Jooned ei lõiku.

x2+y2=1y=-3x

Pärast muutuja y asendamist esimesse võrrandisse saame biruutvõrrandi.

x4 – x2 + 9 = 0

Võrrandi diskriminant on negatiivne,  reaalarvulised lahendid puuduvad. Seega, need jooned ei lõiku.

  • Ringjoonel ja sirgel saab olla ülimalt  lõikepunkti.
  • Paraboolil ja sirgel ei saa olla rohkem kui  ühist punkti.
  • Hüpebool ja sirge saavad puutuda ülimalt  punktis.
  • Ringjoonel ja paraboolil saab olla ülimalt  ühist punkti.
  • Ringjoon saab puutuda hüprbooli kahes punktis .
  • Hüperboolil ja paraboolil saab olla ühiseid punkte
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • ∞
Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

y=x2-4y=2x-5  

y=x2-4y=x+2  

x2=4-yy=5-2x  

y+x2=4y-0,5x=5  

y=(x+2)2y=x+2  

xy=2x+2y=5  

xy=35x+3y=8  

xy=-3x2+y2=10  

xy=-3x=-3y  

2xy=28y=4-x  

(x+1)2+y2=16x+y=5   

y2=8-(x-1)2x+y=5   

x2+y2=8xy=4  

x2+y2=25y-x2=5  

x2+y2=25y+x2=5  

Paraboolil y = 0,5(x – 4)2 – 1 ja sirgel y = kx + 5 on üks ühine punkt. Sama sirge on ka ringjoone x2 + y2 = 5 puutuja. Millise k korral puutuvad parabool ja ringjoon?

Vihje
Parabooli ja sirge ühise punkti leidmiseks saab koostada ruutvõrrandi. Pärast lihtsustamist on see  0,5x2–(4+k)x+2=0. Ruutvõrrandil on üks lahend siis, kui diskriminant D = 0. 

Vastus

k =  

Kontroll

Ühine punkt on (;). 

Lahendusidee
Parabooli ja ringjoone ühise punkti leidmine võrrandisüsteemiga ei pruugi olla kohane. 
Saab leida ühise punkti sirgele ja paraboolile.  0,5x2–(4 + k)x + 2 = 0. Ruutvõrrandil on üks lahend (kahel joonel ühine punkt) siis, kui diskriminant D = 0. Seega lahendada tuleb võrrand (4 + k)2– 4 = 0, millest k = –2. Sirge on siis y=–2x + 5 ja ühine punkt (2; 1), mis rahuldab ringjoone võrrandit.
Seotud sisu
Muud tegevused

Tea

Asendusvõte on süsteemina esitatud joonte lõikepunktide leidmiseks universaalne võte.

Seotud sisu
Muud tegevused