Tasandi võrrand normaal­vektori kaudu

  • Normaalvektor
  • Tasandi võrrand
  • Punkt tasandil
  • Tasandi kirjeldamine punkti  ja normaalvektori abil
Seotud sisu
Muud tegevused

Normaalvektor

Tasandiga risti olevat vektorit  n→ nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks. Selline vektor on risti iga sirgega tasandil ja seega ka iga vektoriga tasandil.

Sirge s ehk sirge PQ tasandil α 
Sirge s ehk sirge PQ tasandil

Näide 1

xy-tasand
Tasand on esitatud kolme punkti kaudu
Seotud sisu
Muud tegevused

Tasandi võrrand

Kui tasand α on risti vektoriga  n→  ja läbib antud punkti P(x0; y0; z0), siis kõik selle tasandi vektorid on risti normaalvektoriga  n→  = (a; b; c).

Kui võtame tasandil suvalise punkti Q(x; y; z), leiame tasandi rihis oleva vektori 

x→=PQ→ = x-x0;y-y0;z-z0.

x→⊥n→ ,   seega  x→·n→=0 .  Kirjutades skalaar­korrutise koordinaatide kaudu, saame tasandi võrrandi.

Kui tasand on risti vektoriga  n→  = (a; b; c) ja läbib punkti P(x0; y0; z0), siis selle tasandi võrrand on

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z -z0)=0 .

Kui avame saadud võrrandis sulud, saame tasandi võrrandi üldkuju

ax + by + cz + d = 0, kus

d = –(ax0 + by0 + cz0 ) ja P(x0; y0; z0) on tasandi punkt.

Märka

Niipea, kui on antud tasandi võrrand üldkujul

 ax + by + cz + d = 0,

on kohe teada selle tasandi normaalvektor 

n→  = (a; b; c) 

ja saab leida punkti P(x0; y0; z0) tasandil.

Tasandi normaalvektor määrab selle tasandi asendi ruumis.

Näide 2

Leiame tasandi 3x – 4y + z – 23 = 0,normaal­vektori ja kontrollime, kas punkt M(2; –5; –3) on tasandil.

  1.  ​ n→  = (3; –4; 1).
  2. M on tasandi punkt, sest 

3 ⋅ 2 – 4 ⋅ (–5) + (–3) – 23 = 6 + 20 – 3 – 23 = 0.

Näide 3

Leiame tasandi võrrandi, kui 
​ n→=  = (2; 0; –8) ning   P(5; –3; 1) on tasandi punkt.

2(x – 5) + 0(y + 3) – 8(z – 1)= 0

2x – 10 – 8z + 8 = 0

2x – 8z – 2 = 0
​või
​x – 4z – 1 = 0

  • 3x – y + 2z – 5 = 0
  • –x + 3y – 2z + 5 = 0
  1. n→ = (3; –1; 2) 
  2. n→ = (–1; 3; –2) 
  3. n→ = (15; –5; 10) 
  4. M(2; 1; 3) 
  5. N(5; 0; 0) 
Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

  1. Punkt A(5; –2; 12)  tasandil 3x + 2y – z + 1 = 0. 
  2. Punkt B(–3; 3; –1)  tasandil 3x + 2y – z + 1 = 0. 
  1. A(2; 1; –1),  n→ = (3; 2; –1)
    • s:  = 0
  2. A(0; –1; 3),  n→ = (–2; –2; 0)
    • t:  = 0
  3. A(3; 2; 0),  n→ = (2; 0; –3)
    • s:  = 0
  1. Paralleelsete tasandite normaalvektorid 
  1. Otsitav tasand α läbib punkti A(3; 3; 3) ja on paralleelne tasandiga x – 2y + z – 1 = 0.
  2. Otsitava tasandi võrrand on
     = 0.
Seotud sisu
Muud tegevused

Kas on tasandi võrrand või ei ole?

  • ax + by + cz + d = 0 
  • x + y + z + d = 0 
  • ax + by + cz  = 0 
  • ax2 + by2 + cz2 + d = 0 
  • ax + by + cz + d2 = 0 
  • n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0 ,
    n→⊥p→ ,
    p→=(x-x0;y-y0;z-z0) 
  • n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0 ,
    n→⊥p→ ,  
    p→=(x-x0;y-y0;z-z0) 
Seotud sisu
Muud tegevused