Ruutjuure ligikaudne väärtus. Irratsionaalarvud

Vannitoa seina uuendamiseks soovib pere osta klaasist mosaiikplaate. Plaatide pakendil märgitud kogus on 2 m². Millise küljepikkusega ruudu saaks nende plaatidega katta?

Ruudu küljepikkuse x saaksime leida võrrandist x² = 2. Selle võrrandi lahendid on $\sqrt{2}$ ja $- \sqrt{2}$ . Kuna ruudu külje pikkus saab olla vaid positiivne arv, siis on meile sobivaks lahendiks vaid $\sqrt{2}$ . See arv ei saa olla naturaalarv, sest 1² = 1 ja 2² = 4. Järelikult on $\sqrt{2}$ väärtus arvude 1 ja 2 vahel olev murdarv. Teame, et 1,5² = 2,25 ja 1,4² = 1,96, järelikult $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ . Edasi saaksime proovimise teel, et $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$ , $1,414 < \sqrt{2} < 1,415$ , $1,4142 < \sqrt{2} < 1,4143$ jne. Selliselt jõuaksime arvule, mille ruut on 2, järjest lähemale. Kuid niiviisi lõputult jätkates ei osutu saadud arvu ruut ikka täpselt võrdseks 2-ga. Kontrolli, millega võrdub näiteks 1,414213562².

Eelnevalt kirjeldatud protsessi käigus jõudsime sellise murdarvuni, mis ei ole ratsionaalarv. Meenutame, et ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena kujul $\frac{p}{q}$ . Sellised arvud on näiteks $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{7}$ , $3 = \frac{3}{1}$ , $- 0,28 = - \frac{28}{100}$ . Iga ratsionaalarvu saab esitada kas lõpliku kümnendmurruna või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Arv $\sqrt{2} = 1,414213562 \dots$ ei ole perioodiline kümnendmurd.

Saab tõestada järgmise teoreemi:

kui ruutjuur naturaalarvust a ei ole naturaalarv,
siis see ruutjuur ei ole ka ratsionaalarv.

Et näiteks $1 < \sqrt{2} < 2$ , $1 < \sqrt{3} < 2$ , $2 < \sqrt{5} < 3$ , siis ruutjuured naturaalarvudest 2, 3 ja 5 ei kuulu naturaalarvude hulka. Järelikult ei ole nende ruutjuurte väärtused ka ratsionaalarvud. Kõiki selliseid ruutjuuri saab avaldada lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Näiteks

$\sqrt{2} = 1,4142135623 \dots$
$\sqrt{3} = 1,7320508075 \dots$
$\sqrt{5} = 2,2360679774 \dots$

Arvu, mida saab esitada lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks.

Irratsionaalarvud on näiteks $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $- \sqrt{17}$ . Irratsionaalarvud ei teki mitte ainult ruutjuure leidmisel. Kuuendas klassis saime teada, et ringjoone pikkuse ja diameetri jagatis väljendub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, mida tähistatakse tähega π, kusjuures π = 3,141592653… Ka arv π on irratsionaalarv. Irratsionaalarvude olemasolu avastas vanakreeka filosoof ja matemaatik Pythagoras (umbes 570–495 eKr) koos oma õpilastega. Selliste arvude olemasolu tundus neile niivõrd arusaamatu, et avastusest otsustati vaikida.

irrationālis – ladina keeles mittemõistuslik, loogiliselt seletamatu

Irratsionaalarve on lõpmata palju, pole olemas vähimat ega suurimat irratsionaalarvu. Ratsionaalarvude hulk koos irratsionaalarvude hulgaga moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulka on kujutatud joonisel.

Irratsionaalarvude ehk lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Need esitatakse vajaliku täpsuseni ümardatult lõplike kümnendmurdude kujul.

Näide

Arvu $\sqrt{5}$ ligikaudne väärtus ümardatuna ühelisteni on 2 ehk $\sqrt{5} \approx 2$ .

Sajandikeni ümardatult on π ≈ 3,14 ja $\sqrt{2} \approx 1,41$ .

Seotud sisu

Ülesanded A

28 = $\frac{}{}$

2,37 = $\frac{}{}$

0,082 = $\frac{}{}$

1,0053 = $\frac{}{}$

Põhjenda, miks need arvud on ratsionaalarvud.

–8 = $\frac{}{}$

–29 = $\frac{}{}$

$4 \frac{2}{3}$ = $\frac{}{}$

–0,0023 = $\frac{}{}$

Põhjenda, miks need arvud on ratsionaalarvud.

$\sqrt{4,01}$
$\sqrt{58}$
$π$
$- 37$
$\frac{8}{5}$
$- \sqrt{25}$
$\sqrt{427}$
$3,14$

$\sqrt{16}$ < $\sqrt{19}$ See lause on .

3 > $\sqrt{11}$ See lause on .

6 > $\sqrt{40}$ See lause on .

7 < $\sqrt{51}$ See lause on .

2,4 < $\sqrt{6}$ See lause on .

$\sqrt{8}$ < 2,8 See lause on .

$\sqrt{11}$ < 3,4 See lause on .

0,7 > $\sqrt{0,5}$ See lause on .

< $\sqrt{27}$ <

< $\sqrt{12,8}$ <

< $\sqrt{70}$ <

< $\sqrt{120}$ <

< $\sqrt{205}$ <

< $\sqrt{234}$ <

$\sqrt{3}$ ≈

$\sqrt{29}$ ≈

$\sqrt{40}$ ≈

$\sqrt{63}$ ≈

$\sqrt{89}$ ≈

$\sqrt{96}$ ≈

$\sqrt{125}$ ≈

$\sqrt{223}$ ≈

$\sqrt{7}$ 3

7 $\sqrt{50}$

$\sqrt{5}$ 2,2

$\sqrt{6,26}$ 2,8

$\sqrt{4,21}$ 2,1

Arv 3,28 on reaalarv.
Kõik täisarvud on ratsionaalarvud.
Naturaalarvud ja täisarvud kuuluvad ratsionaalarvude hulka.
Irratsionaalarvud kuuluvad reaalarvude hulka.
Täisarvud ei ole reaalarvud.
$\sqrt{16}$ on irratsionaalarv.
$\sqrt{0}$ ei kuulu ratsionaalarvude hulka.
Ratsionaalarvude hulga moodustavad naturaalarvud ja täisarvud.

Seotud sisu

Ülesanded B

3 < $\sqrt{12}$ < 4.

6 < $\sqrt{43}$ < 7.

7,1 < $\sqrt{51}$ < 7,2.

< $\sqrt{5}$ <

< $- \sqrt{5}$ <

< $\sqrt{18}$ <

< $- \sqrt{18}$ <

< $\sqrt{68}$ <

< $- \sqrt{68}$ <

$\sqrt{29}$ $\sqrt{10} + \sqrt{19}$

$\sqrt{27}$ $\sqrt{20} + \sqrt{7}$

$\sqrt{65}$ $\sqrt{157} - \sqrt{92}$

$\sqrt{53}$ $\sqrt{70} - \sqrt{17}$

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ruut­juure ligi­kaudne väärtus. Irratsionaal­arvud

Näide

Seotud sisu

Ülesanded A

Seotud sisu

Ülesanded B

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ruutjuure ligikaudne väärtus. Irratsionaalarvud