Ruut­võrrand ax2 + bx + c = 0

Õpime nüüd lahendama täielikku ruut­võrrandit ax2 + bx + c = 0.

Idee saamiseks uurime kõige­pealt, kuidas lahendas ruut­võrrandit x2 + 10x = 39 algebra rajajaks peetav Pärsia matemaatik al-Khwarizmi oma u 830. aastal ilmunud raamatus. Võrrandi lahendamiseks joonestas ta rist­küliku, mis koosneb ruudust külje­pikkusega x ja rist­külikust külje­pikkustega x ja 10 (vaata joonist). Sellise rist­küliku pindala on x2 + 10x ehk 39.

Edasi tükeldas ta rist­küliku külgedega x ja 10 kaheks võrdseks osaks ja paigutas need nii, nagu näha alumisel joonisel. Nüüd täiendas ta joonist ruuduks külje­pikkusega x + 5 ja pindalaga (x + 5)2. Selles ruudus sisaldub lisaks esi­algsele rist­külikule veel värvimata ruut külje­pikkusega 5. Joonise põhjal saab koostada võrrandi (x + 5)2 = 39 + 25 ehk (x + 5)2 = 64. Sellest võrrandist leiame, et x + 5 = 8 või x + 5 = –8. Seega x = 3 või x = –13. Kontroll näitab, et mõlemad arvud sobivad esi­algse võrrandi x2 + 10x = 39 lahenditeks.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Vaatame veel­kord üle, kuidas on joonisele toetudes võrrandit x2 + 10x = 39 teisendatud. Kõige­pealt on liige 10x esitatud kujul 2 · 5x, samuti on lisatud joonisele arvu 5 ruut. Selliselt tekib vasakule avaldis x2 + 2 · 5x +52, mis on kaks­liikme ruut (x + 5)2. Esi­algse võrrandi vasaku poolega võrreldes on aga nüüd sinna lisandunud 25. Et võrrand jääks esi­algsega sama­väärseks, tuleb ka paremale poolele liita 25 ja nii saamegi võrrandi (x + 5)2 = 39 + 25 ehk võrrandi (x + 5)2 = 64.

Oleme ruut­võrrandi lahendamiseks saanud ühe võtte, mis seisneb kaks­liikme ruudu eraldamises.

Näide 1

Lahendame ruut­võrrandi 4x2 + 12x + 5 = 0, teisendades vasaku poole kaks­liikme ruuduks.

Viime esmalt vaba­liikme vasakult poolelt paremale:

4x2 + 12x = –5.

Viimase võrrandi vasakut poolt täiendame nii, et sinna tekiks kaks­liikme ruut. Et 4x2 + 12x = (2x)2 + 2 · 2x · 3, siis tuleks vasakul poolel oleva avaldisega liita 32 ehk 9. Et võrrand jääks esi­algsega sama­väärseks, tuleb sama arv liita ka parema poolega. Nii saame:

(2x)2 + 2 · 2x · 3 + 9 = 9 – 5 ehk (2x + 3)2 = 4

Leidnud viimase võrrandi mõlemast poolest ruut­juure saame edasi:

2x+3 = 22x+3 = ±22x = -3±2x = -3 ± 22x1 = -3 - 22=-2,5x2 = -3 + 22=-0,5

a2=a

Kontrollime lahendit –2,5. Selleks asetame selle arvu lähte­võrrandisse tundmatu x asemele. Saame:

4 · (–2,5)2 + 12 · (–2,5) + 5 = 4 · 6,25 – 30 + 5 = 0.

Ka arv –0,5 rahuldab antud võrrandit. Seega on sel võrrandil kaks lahendit: –2,5 ja –0,5.

Vastus. x1 = –2,5, x2 = –0,5.

Näide 2

Lahendame võrrandi 5x2 + 9x – 2 = 0.

Korrutame võrrandi mõlemaid pooli sellise teguriga, et ruut­liikme kordaja oleks mingi täis­arvu ruut. Selliseks teguriks sobib antud võrrandi ruut­liikme kordaja 5. Siis saame uue, endisega sama­väärse võrrandi

25x2 + 45x – 10 = 0 ehk (5x)2 + 2 · 5x · 4,5 = 10.

Et saadud võrrandi vasakule poolele tekiks kaks­liikme ruut, on sinna vaja liita 4,52 = 20,25. Muidugi tuleb siis sama arv liita ka võrrandi parema poolega. Nii saame:

(5x)2 + 2 · 5x · 4,5 + 20,25 = 30,25 ehk (5x + 4,5)2 = 30,25.

Edasi saame eelmise näite ees­kujul:

5x+4,5 = ±30,255x+4,5 = ±5,55x = -4,5±5,5x = -4,5 ± 5,55x1 = -4,5 ± 5,55=-2x2 = -4,5 ± 5,55=0,2

Vastus. x1 = –2, x2 = 0,2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

(x – 2)2 = 

(9s + 3t)2 = 

(2x – 3y)2 = 

(2a2 + b)2 = 

m2 + 2mn + n2 = ()2

x2 + y2 – 2xy = ()2

4a2 – 4ax + x2 = ()2

x2 + ax + 0,25a2 = ()2

x2 + 2xy + 

m2 + 2m + 

a2 – 2a + 

z2 – 4z + 

9s2 + 6s + 

25n2 – 20n + 

Vihje
Jaota rist­külik vasak­poolsel joonisel kaheks võrdseks osaks ning paiguta pooled ülestikku ruutu külje­pikkusega 5 nagu parem­poolsel joonisel.

x2 – 6x + 8 = 0
x1 = , x2 = 

x2 + 4x – 5 = 0
x1 = , x2 = 

4x2 – 4x – 3 = 0
x1 = , x2 = 

9x2 + 6x + 3 = 0

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

2x2 – 5x + 2 = 0
x1 = , x2 = 

3t2 – 11t + 6 = 0
t1 = , t2 = 

5x2 + 24x – 5 = 0
x1 = , x2 = 

6u2 + 17u + 10 = 0
u1 = , u2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused