Mida uut õpime? Täisnurkne kolmnurk. Korrapärane hulknurk

Kui omandad algavas peatükis pakutava kohustusliku materjali, siis

tunned Sa uusi väga olulisi mõisteid

nurga mõõtühik minut,

teravnurga siinus,

teravnurga koosinus,

teravnurga tangens,

täiendusnurgad;

ning järgmisi omadusi ja seoseid:
- Pythagorase teoreem;
- täisnurkse kolmnurga nurkade ja külgede vahelised seosed;
- teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi omadused.
Omandatud mõistete, omaduste ja seoste abil Sa oskad
- selgitada õpitud definitsioonide ja teoreemide sisu;
- tõestada Pythagorase teoreemi;
- kasutada taskuarvutil mitmeid seni tundmatuid klahve;
- leida teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi väärtust;
- lahendada mitmesuguseid praktilisi ülesandeid.

Seotud sisu

Pythagorase teoreem

Juku, kes on ristkülikukujulise muruplatsi tipus A (vaata joonist), näeb Atsi muruplatsi vastastipu B juures seisvat. Soovides Atsiga võimalikult kiiresti kohtuda, läheb Juku mööda muruplatsi diagonaali AB. Kui pikk on Juku tee Atsini, kui muruplatsi mõõtmed on 8 m × 6 m?

Teeme esmalt selgeks, milline matemaatiline ülesanne tuleb lahendada, et esitatud küsimusele vastata.

Pool ristkülikukujulisest muruplatsist on täisnurkne kolmnurk ABC täisnurgaga tipus C ja kaatetitega AC = 8 m, CB = 6 m. Leida tuleb hüpotenuusi pikkus.

Seda ülesannet võimaldab lahendada Pythagorase teoreem:

täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga.

Teoreemi sõnastuses esinevaid väljendeid „kaateti ruut” ja „hüpotenuusi ruut” tuleb siin ja edaspidi mõista kui lühemaid väljendeid „kaateti pikkuse ruut” ja “hüpotenuusi pikkuse ruut” asemel.

Sama algebraliselt, kus a ja b on täis nurkse kolmnurga kaatetid ning c hüpotenuus:

a² + b² = c².

Tõestame Pythagorase teoreemi.

Eeldus. Kolmnurk ABC on täisnurkne täisnurgaga tipu C juures.

Väide. a² + b² = c².

Tõestus. Joonestades täisnurkse kolmnurga ABC hüpotenuusile AB kõrguse CD, tekib kaks täisnurkset kolmnurka, ΔACD ja ΔBCD (vaata joonist).

Et täisnurksetel kolmnurkadel DAC ja CAB on teravnurk α ühine, siis need kolmnurgad on sarnased (tunnus NN).

Järelikult $\frac{b}{c} = \frac{g}{b}$ , millest b² = gc.

Analoogiliselt on ΔBCD ∼ ΔBAC (ühine teravnurk β) ning $\frac{a}{c} = \frac{f}{a}$ , millest a² = fc.

Liites võrduste a² = fc ja b² = gc vastavad pooled saame, et

a² + b² = fc + gc ⇒ a² + b² = (f + g)c ⇒ a² + b² = c². ■

Näide 1

Lahendame Juku ja Atsi kohtumise ülesande, kus täisnurkse kolmnurga kaatetid AC = 8 m ja BC = 6 m.

Lahendus. Hüpotenuusi arvutamiseks kasutame Pythagorase teoreemi

AC² + BC² = AB², millest

$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}}$ .

Asendades AC ja BC arvuliste väärtustega, saame, et

$A B = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}$ = $\sqrt{64 + 36}$ = $\sqrt{100}$ = $10 (m)$ .

Kui Juku läheks Atsi juurde mööda muruplatsi servi, oleks tee pikkus 8 + 6 = 14 (m). Mööda diagonaali minnes lüheneb tema tee sellega võrreldes 4 meetri võrra.

Selle vahemaa läbimiseks kiirusega $5 \frac{km}{h}$ kulub muuseas alla 3 sekundi.

Vastus. Juku pidi läbima 10 meetrit.

Näide 2

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus c = 8,31 dm ja kaatet b = 7,85 dm. Leiame kolmnurga teise kaateti a.

Lahendus. Lähtume Pythagorase teoreemist a² + b² = c².

Siit a² = c² – b² ehk a² = 8,31² – 7,85² = 7,4336, millest
$a = \sqrt{7,4335} \approx 2,73 (dm)$ .

Vastus. Kaatet a ≈ 2,73 dm.

Näide 3

Leiame kolmnurga ABC pindala, kui f = 4 cm ja g = 9 cm.

Lahendus. Loeme täisnurkses kolmnurgas ABC aluseks hüpotenuusi c = g + f = 9 + 4 = 13 (cm). Kui oleks teada ka kõrgus h, saaks pindala arvutada valemiga $S = \frac{c h}{2}$ . Et leida kõrgust h, püüame selle siduda antud suurustega. Seda saame teha täisnurksete kolmnurkade ADC ja CDB abil. Nendes kolmnurkades on Pythagorase teoreemi põhjal g² + h² = b² ja f² + h² = a². Liites võrduste vastavad pooled, saame, et g² + h² + f² + h² = b² + a² ehk g² + f² + 2h² = c², sest b² + a² = c² Pythagorase teoreemi põhjal täisnurksest kolmnurgast ABC. Sama arvudes annab 9² + 4² + 2h² = 13², millest h² = 36 ja h = 6 (cm).

Seega $S = \frac{c h}{2} = \frac{13 \cdot 6}{2} = 39$ (cm²).

Vastus. Pindala on 39 cm².

Lõike f ja g (ka nende pikkusi) nimetatakse vastavalt kaatetite a ja b projektsioonideks hüpotenuusil.

Näide 4

Leiame täisnurkse kolmnurga kaatetid ja hüpotenuusi, kui ühe kaateti b projektsioon g = 9 cm ja hüpotenuusile tõmmatud kõrgus h = 12 cm.

Lahendus. Täisnurksest kolmnurgast ADC külgedega g, h ja b saame Pythagorase teoreemi põhjal seose b² = g² + h². Et g = 9 ja h = 12, siis b² = 9² + 12² = 225, millest $b = \sqrt{225} = 15 (cm)$ . Samuti saame täisnurksest kolmnurgast BDC, et a² = f² + h² ehk a² = f² + 12², millest omakorda a² = f² + 144. Leiame veel teise võrduse, mis sisaldab suurusi a ja f. Selleks rakendame Pythagorase teoreemi täisnurkses kolmnurgas ABC: c² = a² + b². Arvestades, et c = f + 9, saame siit võrduse (f + 9)² = a² + 225. Avame viimases võrduses sulud, teeme asenduse a² = f² + 144 ning lahendame saadud võrrandi:

f² + 18f + 81 = f² + 144 + 225 ⇒ 18f = 288 ⇒ f = 16.

Järelikult c = 16 + 9 = 25 ning võrdusest a² + b² = c² leiame, et $a = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = 20$ .

Vastus. b = 15 cm, c = 25 cm ja a = 20 cm.

Pythagorase teoreemi väljendavas võrduses võib vaadelda suurusi a², b² ja c² kui selliste ruutude pindalasid, mille külgedeks on a, b ja c.

Seoses sellega saab Pythagorase teoreemi sõnastada ka järgmiselt:

täisnurkse kolmnurga kaatetitele joonestatud ruutude pindalade summa on võrdne hüpotenuusile joonestatud ruudu pindalaga.

Teoreemi seda sõnastust illustreerib järgnev joonis, kus

S₁ = a², S₂ = b², S = c².

Seega a² + b² = c² ehk S₁ + S₂ = S.

Näide 5

Konstrueerime ruudu, mille pindala on võrdne antud ruutude ABCD ja EFGH pindalade vahega.

Lahendus. Olgu otsitava ruudu külg x. Siis pindala S_x = x² ning S_x = S₁ – S₂ ehk x² = AB² – EF².

Järelikult tuleb konstrueerida täisnurkne kolmnurk kaateti EF ja hüpotenuusi AB järgi ning seejärel ruut leitud täisnurkse kolmnurga teisele kaatetile x. Selleks joonestame täisnurga sMt (alumine joonis), kanname haarale t lõigu MN = EF ja joonestame lõigu NP = AB. Tekkinud kolmnurga MNP kaatet MP = x, millele konstrueerime otsitava ruudu MPQR.

Pythagorase teoreemi saab kasutada väga mitmesuguste ülesannete lahendamisel.

Näide 6

Leiame täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui nende vahe on 6 cm ja kolmnurga hüpotenuus on 30 cm.

Lahendus. Olgu üks kaatet a, siis teine kaatet on a + 6. Et kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, saame võrrandi

a² + (a + 6)² = 302,

mis pärast lihtsustamist annab ruutvõrrandi

a² + 6a – 432 = 0.

Et lahendeist a₁ = –24, a₂ = 18 esimene ei sobi kolmnurga kaatetiks, siis on a = 18 cm ning teine kaatet on a + 6 = 24 (cm).

Vastus. Kolmnurga kaatetid on 18 cm ja 24 cm.

Näide 7

Masti BD külge on kinnitatud kaks trossi joonisel näidatud viisil. Leiame trossi AD pikkuse märgitud algandmete korral.

Lahendus. Otsitav tross AD on täisnurkse kolmnurga ABD hüpotenuus. Selle pikkuse arvutamiseks tuleb kõigepealt leida kaateti BD pikkus, milleks omakorda tuleb leida kolmnurgast ABC kaateti BC pikkus.

ΔABC:

AB²+ BC² = AC² ⇒ BC² = AC² – AB² ⇒
⇒ $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}}$ = $\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5 (m)$ .

ΔABD:

BD = BC + CD = 5 + 4 = 9 (m);
AD² = AB² + BD² ⇒
⇒ $A D = \sqrt{A B^{2} + B D^{2}}$ = $\sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15 (m)$ .

Vastus. Ülemise trossi pikkus on 15 meetrit.

Näide 8

Võrdhaarse kolmnurga haar on 13 dm ja alus 10 dm. Leiame kolmnurga pindala.

Lahendus. Selleks peame esmalt leidma kõrguse h, mis on täisnurkse kolm nurga kaatet. Teiseks kaatetiks on e = 10 : 2 = 5 (dm) ja hüpotenuusiks kolmnurga haar b = 13 (dm). Pythagorase teoreemi põhjal

$h^{2} + e^{2} = b^{2}$ $\Rightarrow$ $h = \sqrt{b^{2} - e^{2}}$ = $\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12 (dm)$ .

Pindala $S = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 ({dm}^{2})$ .

Vastus. Pindala on 60 dm².

Seotud sisu

Pythagoras ja Pythagorase arvud

Vanakreeka matemaatik ja filosoof Pythagoras elas umbes aastatel 580–500 eKr. Ta rajas kooli noormeestele, kus tegeleti matemaatika, filosoofia, loodusteaduste, poliitika ja muusikaga. Pythagorase ja tema õpilaste (pütagoorlaste) õpetus on omapärane segu matemaatikast ja müstikast. Selles oli olulisel kohal arvude tähtsustamine („arv on kõigi asjade olemus”) ning neile erinevate omaduste omistamine (näiteks arv 1 tähendab tarkust ja on loodusnähtuste alus, arv 2 tähendab arvamust, 10 väljendab täiuslikkust, sest 10 = 1 + 2 + 3 + 4). Juba eluajal austati Pythagorast peaaegu kui jumalat. Pythagorase teoreemi tunti sisuliselt juba ammu enne Pythagorast, näiteks Babüloonias umbes 2000 aastat eKr. Arvatavasti andis selle teoreemi üldise tõestuse Pythagoras.

Naturaalarve a, b ja c, mis rahuldavad võrdust a² + b² = c², nimetatakse Pythagorase arvudeks. Neist tuntuim arvukolmik on 3, 4, 5 (3² + 4² = 5²). Vastavat täisnurkset kolmnurka nimetatakse Egiptuse kolmnurgaks. Muistsed egiptlased kasutasid just seda kolmnurka täisnurga konstrueerimiseks maastikul. Selleks tegid nad pikemale köiele võrdsete vahemaade järel 13 sõlme, mille tulemusena tekkis köiel 12 võrdse pikkusega osa. Esimene ja kolmeteistkümnes sõlm seoti kokku ning köis pingutati nüüd maapinnale kolme vaiaga nii nagu näha joonisel. Küljed pikkustega 3 ja 4 moodustavad täisnurga.

Pole raske veenduda, et kui arvud a, b ja c on Pythagorase arvud, siis on seda ka arvud ka, kb ja kc, kus k on positiivne täisarv. Näiteks k = 3 korral saame Pythagorase arvudest 3, 4 ja 5 uued Pythagorase arvud 9, 12 ja 15 (9² + 12² = 15²).

Pythagorase arve (seega ka täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi) saadakse valemitest

a = n² – m², b = 2nm, c = n² + m²,

kus n ja m on positiivsed täisarvud (n > m). Näiteks n = 3 ja m = 2 korral saame, et a = 5, b = 12, c = 13. Tõepoolest, 5² + 12² = 169 = 13².

Seotud sisu

Ülesanded A

x = $\sqrt{}$

x = $\sqrt{}$ = $\sqrt{}$ =

a = $\sqrt{}$ = $\sqrt{}$ =

p = $\sqrt{}$ = $\sqrt{}$ =

b = $\sqrt{}$ = $\sqrt{}$ ≈

Kolmnurk	1)	2)	3)	4)	5)	6)	7)	8)	9)
Kaatet a	8			20	5	60		2,1	1,5
Kaatet b	15	8	16		5		7	2,8	1,1
Hüpotenuus c		17	20	29		61	$\sqrt{58}$

hüpotenuus, kui kaatetid on 7 cm ja 24 cm.

Vastus. Hüpotenuus on cm.
kaatet, kui teine kaatet on 8 dm ja hüpotenuus 1 m.

Vastus. Kaatet on dm.

Vastus. Kolmnurga kaatetid on $\sqrt{}$ cm ≈ cm.

Vastus. Kolmnurga hüpotenuus on $\sqrt{}$ cm ≈ cm.

Vastus. x = cm.

Vastus. Redeli ülemine ots ulatus umbes m kõrgusele. Kui redeli alumist otsa nihutada lähemale, siis redeli ülemine ots tõuseb cm võrra.

Vastus. Nende kolme vandi jaoks kulub m trossi.

Vastus. AC pikkus on umbes m.

Vastus. Vastav vahemaa maapinnal on ligikaudu km.

Vastus. Kaatetid on dm ja dm.

Vastus. Kaatetid on cm ja cm.

Vastus. Kolmnurga pindala on cm².

485. Ruudu konstrueerimine

Konstrueeri vihikusse ruut, mille pindala on võrdne joonisel antud ruutude pindalade 1) summaga; 2) vahega.

Vihje

1) Põhjenda, et valge kujund on ruut.
2) Avalda ruudu pindala kahte moodi.

Vastus. Selle kolmnurga kõrgus on dm.

Vastus. Kolmnurga haar on cm.

Vastus. Kolmnurga kõrgus h = $\sqrt{}$ m ≈ m.

$h = \frac{\sqrt{}}{}$ .

Kasulik on jätta see tulemus meelde!

Kolmnurga külg	Kolmnurga kõrgus
10 cm	$\sqrt{}$ cm ≈ cm
$6 \sqrt{3}$ cm	cm
4,5 m	$\sqrt{}$ m ≈ m

Kolmnurga kõrgus	Kolmnurga külg
6 cm	$\sqrt{}$ cm ≈ cm
1,5 dm	$\sqrt{}$ dm ≈ dm
$\sqrt{3}$ m	m

1 meremiil ≈ 1,85 km

Vastus. Laevad on teineteisest meremiili ehk ligikaudu km kaugusel.

Vastus. Ristküliku diagonaal on m.

Vastus. Ruudu diagonaali täpne väärtus on $\sqrt{}$ cm.

d = $\sqrt{}$ .

Kasulik on see tulemus meelde jätta.

Vastus. Ruudu diagonaal on cm.

Ruudu diagonaal	8 cm	$23 \sqrt{2}$ dm
Ruudu külg	$\sqrt{}$ cm	dm

Vastus. Tekib lähiskülgedega cm ja cm.

Vastus. Rombi teine diagonaal on $\sqrt{}$ cm ≈ cm.

Vastus. Trapetsi haarad on dm ja dm.

Vastus. Trapetsi pindala on cm².

Vastus. Selle karjamaa piiramiseks elektrikarjusega kulub ligikaudu m traati.

Seotud sisu

Ülesanded B

Vastus. Täisnurkse kolmnurga kaatet on cm ja hüpotenuus on cm.

Vastus. Teine kaatet on cm ja hüpotenuus cm.

Vastus. h ≈ dm; S ≈ dm².

Vastus. Trapetsi diagonaalid on $\sqrt{}$ cm, kõrgus on cm ja pindala on dm².

Vastus. Kolmnurga haarad on ligikaudu m.

Vastus. Pikemale küljele tõmmatud kõrgus on ligikaudu cm.

Vastus. See kõõl asetseb ringi keskpunktist cm kaugusel.

Vastus. Ringi raadius on dm.

Vastus. Lõigu AP pikkus on cm.

Vastus. Värvitud osa pindala on π ≈ cm².

Põhjenda, et ΔADC ∼ ΔCDB.

Miks kehtib nende sarnaste kolmnurkade korral võrdus $\frac{g}{h} = \frac{h}{f}$ ?
Avalda eelmisest võrdusest h², mis annabki soovitud seose.

Oled saanud valemi, mis väljendab teoreemi täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest. Sõnasta see teoreem.

Kasutades saadud valemit, leia täisnurkse kolmnurga küljed ja pindala, kui

	Kolmnurga küljed (kasvavalt)	Kolmnurga pindala
f = 10 cm, g = 90 cm	$\sqrt{}$ cm, $\sqrt{}$ cm, cm	cm²
h = 6 dm ja ühe kaateti projektsioon hüpotenuusil on 8 dm	dm, dm, dm	dm²

Vastus. Kolmnurga pindala on dm².

Kaatetite projektsioonid hüpotenuusil	Hüpotenuusile tõmmatud kõrgus
16 dm ja 1 dm	dm
4 cm ja 5 cm	$\sqrt{}$ dm

Kasutades Eukleidese teoreemi, leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui kaatetite projektsioonid hüpotenuusil on 3 cm ja 27 cm.

Vastus. Kolmnurga küljed on (kahanevalt) cm, $\sqrt{}$ cm ≈ cm ja $\sqrt{}$ cm ≈ cm.

Vastus. Kaatetid on (kahanevalt) $\sqrt{}$ cm ≈ cm ja cm.

Vastus. Hüpotenuus on dm ja puuduv kaatet dm.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Mida uut õpime? Täis­nurkne kolm­nurk. Korra­pärane hulk­nurk

Seotud sisu

Pythagorase teoreem

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

Näide 5

Näide 6

Näide 7

Näide 8

Seotud sisu

Pythagoras ja Pythagorase arvud

Seotud sisu

Ülesanded A

485. Ruudu konstrueerimine

Vihje

Seotud sisu

Ülesanded B

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Mida uut õpime? Täisnurkne kolmnurk. Korrapärane hulknurk