Korrapärase hulknurga pindala

Kaheksandas klassis saime teada, et hulknurka, mille kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.

Korrapärane viisnurk

Kui korrapärase n-nurkse hulknurga külje pikkus on a, tuleb ümbermõõt arvutada valemiga

P = n · a.

Näide 1

Leiame korrapärase kaheksanurga pindala, kui hulknurga külg a = 8 dm ja apoteem r ≈ 9,66 dm.

Lahendus. Korrapärane kaheksanurk tükeldub kaheksaks võrdseks kolmnurgaks joonisel näidatud viisil.

Et iga kolmnurga pindala

$S_{∆} = \frac{a r}{2}$ ≈ $\frac{8 \cdot 9,66}{2}$ = $38,64 ({dm}^{2})$ ,

siis kaheksanurga pindala S ≈ 8 · 38,64 ≈ 309 (dm²).

Vastus. Korrapärase kaheksanurga pindala on 309 dm².

Tuletame korrapärase hulknurga pindala valemi. Selleks vaatleme n-nurkset korrapärast hulknurka ABCD…T külje pikkusega a.

Kuna hulknurgal on külgi n, saab selle hulknurga tükeldada n võrdseks kolmnurgaks ABO, BCO, CDO, …, TAO. Järelikult on hulknurga pindala S arvuliselt n korda suurem kui ühe kolmnurga, näiteks ΔABO, pindala.

Lühemalt: S = n · S_ABO.

Kasutades kolmnurga pindala valemit, on korrapärase hulknurga pindala

$S = n \cdot \frac{a r}{2}$ .

kus a on hulknurga külg ning r on kolmnurga kõrgus, mis on ühtlasi hulknurga siseringjoone raadius. Suurust r nimetatakse ka hulknurga apoteemiks.

Kui saadud valem esitada kujul $S = \frac{n a}{2} \cdot r$ ja arvestada, et korrutis na on hulknurga ümbermõõt P, saame pindala valemiks

$S = \frac{P}{2} \cdot r$

Korrapärase hulknurga pindala võrdub hulknurga poole ümbermõõdu ja apoteemi korrutisega.

Näide 2

Korrapärase kuusnurga külg a = 10 cm. Leiame kuusnurga pindala.

Lahendus. Meenutades korrapärase kuusnurga konstrueerimist, ei ole raske mõista, et kuusnurk tükeldub võrdkülgseteks kolmnurkadeks. Seega on võrdkülgne ka kolmnurk ABO, küljega a.

Järelikult saame kõrguse r leida täisnurksest kolmnurgast BOC.

Pythagorase teoreemi järgi r² + CB² = a², millest r² = a² – CB². Et $C B = \frac{a}{2} = 5$ , siis r² = 10² – 5², millest $r = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$ .

Kuna P = 6 · 10 = 60, siis

$S = \frac{60}{2} \cdot 5 \sqrt{3} = 150 \sqrt{3}$ ≈ 259,8 (cm²).

Vastus. Korrapärase kuusnurga täpne pindala on $150 \sqrt{3} {cm}^{2}$ , ligikaudne vastus on aga 259,8 cm².

Seotud sisu

Ülesanded A

Vastus. S = $\sqrt{}$ cm² ≈ cm².

Korrapärase kuusnurga apoteem	Kuusnurga täpne pindala	Kuusnurga ligikaudne pindala
6 cm	$\sqrt{}$ cm²	cm²
$5 \sqrt{3}$ dm	$\sqrt{}$ dm²	dm²

Vastus. Selle hulknurga pindala on ligikaudu cm².

Vastus. Hulknurga keskpunkt on hulknurga küljest ligikaudu cm kaugusel ja hulknurga tipust cm kaugusel.

Vastus. Ühte kärjekannu mahub mm³ mett.

Seotud sisu

Ülesanded B

Vastus. Tekkinud kahe kolmnurga pindalade suhe on (märgi sobiv):

1 : 1
1 : 2
1 : 3
1 : 4

Vastus. P₆ = cm, P₃ = $\sqrt{}$ cm, S₆ = $\sqrt{}$ cm², S₃ = $\sqrt{}$ cm². Kolmnurga ümbermõõt moodustab kuusnurga ümbermõõdust % ja kolmnurga pindala kuusnurga pindalast %.

Vastus. Kuusnurga siseringjoone raadius on $\frac{\sqrt{}}{}$ . Siseringi pindala moodustab kuusnurga pindalast % ja kuusnurga pindala ümberringi pindalast %.