Вписанный угол

Начертим какую-нибудь окружность и отметим на ней точку A. Проведем из этой точки два луча AB и AC (рисунок А), которые образуют угол BAC. Полученный угол называется вписанным углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным в эту окружность углом.

Рис. А

Рис. Б

Про дугу окружности, заключенную между сторонами вписанного угла, говорят, что вписанный угол опирается на эту дугу (на рисунке А угол ВАС опирается на дугу $\overset{⏜}{B C}$ ). На рисунке Б изображены опирающиеся на одну и ту же дугу вписанный угол α и центральный угол α'.

Предположение, сделанное в предыдущей задаче, подтверждает следующая теорема.

Вписанный угол составляет половину центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Условие. Угол α является вписанным в окружность, а угол α' – центральным углом, опирающимся на ту же дугу.

Заключение. α = 0,5 α'.

Доказательство. Доказательство состоит из трех частей, в зависимости от того, расположен ли центр окружности на одной из сторон вписанного угла, внутри вписанного угла или вне этого угла. Мы ограничимся доказательством теоремы только для первых двух случаев.

Рис. А

Первая часть. Центр окружности расположен на одной из сторон вписанного угла (рисунок А). Проследи внимательно ход рассуждений.

Треугольник BCD – равнобедренный, так как CD = CB – эти отрезки являются радиусами одного и того же круга.
α = β – углы при основании равнобедренного треугольника.
α' = α + β – свойство внешнего угла треугольника, см. § 3.10.
α' = α + α – или α' = 2α – следует из пунктов 2 и 3.
α = 0,5α'. ■

Рис. Б

Рис. В

Вторая часть. Центр окружности расположен внутри вписанного угла (рис. Б). Проведем из вершины D вписанного угла луч, проходящий через центр окружности C (рис. В). Тогда вписанный угол a разбивается на два вписанных угла β и γ, на общей стороне которых лежит центр окружности. По доказанному в первой части получим:

β = 0,5β' и γ = 0,5γ'.
α = β + γ = o,5β' + 0,5γ' = 0,5(β' + γ').
α = 0,5α', так как β' + γ' = α'. ■

Из доказанной теоремы следует, что:

все вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой,

так как каждый из них составляет половину одного и того же центрального угла.

Seotud sisu

Упражнения A

960. GeoGebra

Убедись в справедливости изученной теоремы и с помощью программы GeoGebra.

Сделай соответствующий чертеж и начни изменять чертеж с помощью инструмента «Перемещать» так, чтобы проверить справедливость теоремы во всех трех случаях.

∠α = °

∠γ = °

∠β = °

∠α = °

∠β = °

∠α = °

∠β = °

∠α = °

∠β = °

∠α = °

∠β = °

Данная дуга	80°	10°	100°	180°
Вписанный угол	°	°	°	°

Данный вписанный угол	15°	26°	90°	45°	80°
Дуга	°	°	°	°	°

Данные углы	∠A = 40° и ∠B = 60°	∠A = 75° и ∠C = 30°
$\overset{⏜}{A B}$	°	°
$\overset{⏜}{A C}$	°	°
$\overset{⏜}{B C}$	°	°

Данные углы	∠B = 90° и ∠C = 20°	∠A = 35° и ∠B = 72°
$\overset{⏜}{A B}$	°	°
$\overset{⏜}{A C}$	°	°
$\overset{⏜}{B C}$	°	°

Ответ: углы полученного треугольника (по возрастанию) есть °, °, °.

Дуга, на которую опирается основание	Угол при вершине	Углы при основании
60°
90°
136°
180°
120°