Касательная к окружности

Вспомни, прежде всего, кое-что из ранее изученного. На рисунке из точки P, расположенной вне заданной прямой, проведены к этой прямой два отрезка: перпендикуляр и наклонный отрезок. Который из этих отрезков короче, а который длиннее? Длина какого отрезка является расстоянием от точки P до прямой?

На рисунке А прямая t пересекает окружность в точках P и Q. Прямая t – это секущая окружности. Представим себе, что точка P неподвижна, а точка Q движется по окружности, приближаясь к P (pиc. Б). Секущая PQ будет менять положение, вращаясь около точки P. В результате получится прямая, проходящая через точку P и имеющая с окружностью только одну общую точку (точку P). Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку P, называется касательной к окружности в точке P (рис. В). При этом точка P называется точкой касания.

Выясним, каково взаимное расположение касательной и радиуса, проведенного в точку касания.

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Условие. Прямая t является касательной к окружности, т. е. точка P является единственной общей точкой прямой t и окружности. Отрезок CP – радиус окружности.

Заключение. t ⊥ CP.

Доказательство.

Возьмем на касательной произвольную точку X, отличную от P. Тогда эта точка наверняка расположена вне соответствующего круга, так как точка P является по условию единственной общей точкой прямой t и окружности.

CP < CX, так как точка P лежит на окружности, а точка X – вне круга.
Отрезок CP является кратчайшим отрезком, проведенным из центра окружности к касательной. Следовательно, t ⊥ CP. ■

Для доказанной теоремы справедлива также и обратная ей теорема.

2. Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к проведенному в эту точку радиусу, является касательной к окружности.

Теоремы 1 и 2 можно теперь объединить в одно предложение, выражающее необходимый и достаточный признак касательной:

прямая, проходящая через точку окружности, является касательной к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Из рисунка ясно, что если из одной точки М вне круга проведены к окружности две касательные, для которых точками касания соответственно являются P и Q, то

точка М пересечения касательных равноудалена от точек касания P и Q, т. е. МP = МQ.

Действительно, отрезки МP и МQ являются соответственными катетами равных прямоугольных треугольников (§ 6.3).

Seotud sisu

Упражнения A

Ответ: эти касательные .

α = 120° и β = 30°.

Ответ: прямая t касательной, так как

δ = 60° и β = 30°.

Ответ: прямая t касательной, так как

α = 105° и γ = 165°.

Ответ: прямая t касательной, так как

γ = 130° и δ =35°.

Ответ: прямая t касательной, так как

Докажи, что отрезки МP и МQ касательных равны между собой.

Докажи, что прямая, проведенная через центр окружности и точку М вне круга, является биссектрисой угла между касательными, проведенными к окружности из точки М.

Угол между радиусами	100°	40°	28°
Угол между касательными	°	°	°

Угол между касательными	64°	85°	90°	101°	76°
Угол между касательными и отрезком, соединяющим точки касания	°	°	°	°	°

Ответ: точка пересечения касательных находится на расстоянии см от точек касания.

Seotud sisu

Упражнения Б

Ответ: S = дм².

Ответ: площадь этого сектора составляет % от площади треугольника АВС.

Ответ: угол между касательной и секущей равен °.

Ответ: углы треугольника равны °, ° и °.

Ответ: углы между касательной и секущей равны ° и °.

Указание

Построй также центральный угол, опирающийся на отрезок секущей.

Ответ: угол между касательными равен °.

Дуга, заключенная внутри угла	Угол между касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания
54°	°
72°	°
106°	°