Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”
Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis meile kooliõpingutest esimesena tuntuks saanud naturaalarvude hulk N:
N = {0; 1; 2; 3; ...}.
Et loendamise teel on nulli raske saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka. Alles 7. sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks.
Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. Need on liitmine ja korrutamine ning nende pöördtehted lahutamine ja jagamine.
Nr. | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Milliste tehete korral on tehte tulemus alati naturaalarv?
- liitmise
- korrutamise
- lahutamise
- jagamise
Eelmises ülesandes selgus, et vahe 3 – 7 ei ole naturaalarv. Seega, tundes vaid naturaalarve, ei saa me alati lahutamistehet sooritada. Siit ka vajadus laiendada naturaalarvude hulka uute arvudega nii, et saadud arvuhulgas oleks alati võimalik ka lahutamistehe. Võttes kasutusele naturaalarvude vastandarvud, osutubki see võimalikuks.
Naturaalarvu n vastandarv –n. Arvu ja selle vastandarvu summa on 0.
n + (–n) = 0.
Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z:
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}.
Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast Z+: Z+ = {1; 2; 3; ...} ja negatiivsete täisarvude hulgast Z–: Z– = {...; –3; –2; –1}.
Niisiis
Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ ja N ⊂ Z (joon. 1.4).
 Joon. 1.4 | ||||||
Võtnud kasutusele vastandarvud, võime öelda, et lahutamistehe on täisarvude hulgas alati teostatav, s.t iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv.
Nr. | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Milliste tehete korral saame alati öelda, et tehte tulemus on täisarv?
- liitmise
- korrutamise
- lahutamise
- jagamise
Äsja lahendatud ülesandes selgus, et täisarvude jagatis pole alati täisarv. Kui arv a jagub arvuga b (b ≠ 0), siis on jagatiseks täisarv, vastasel juhul murdarv
Laiendades täisarvude hulka murdarvudega, saame uue arvuhulga, kus on alati võimalik ka jagamistehe (v.a jagamine nulliga). Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. (joon. 1.5).
Joon. 1.5
|
||||||
Kuna iga täisarvu saab avaldada jagatisena
ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus , ja .
Ülesanded
- ei ole täisarvud;
- ei ole positiivsed täisarvud;
- on ratsionaalarvud;
- on täisarvud.
- Iga kahe naturaalarvu vahe on naturaalarv.
- Iga kahe naturaalarvu summa on naturaalarv.
- Iga kahe naturaalarvu jagatis on naturaalarv.
- Iga kahe täisarvu vahe on täisarv.
- Iga kahe täisarvu jagatis (välja arvatud jagamine nulliga) on täisarv.
- Iga kahe täisarvu korrutis on täisarv.
- Iga kahe ratsionaalarvu jagatis (välja arvatud jagamine nulliga) on ratsionaalarv.
- Iga kahe ratsionaalarvu korrutis on ratsionaalarv.
- Iga naturaalarv on täisarv.
- Iga ratsionaalarv on täisarv.
- Iga täisarv pole ratsionaalarv.
- Iga naturaalarv on positiivne.
- Leidub ratsionaalarve, mis pole täisarvud.
- Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud.
- Leidub täisarve, mis on naturaalarvud.
- Leidub naturaalarv, mis pole positiivne.
- Iga naturaalarv on esitatav täisarvude jagatisena
