Ühe muutujaga lineaar­võrratused

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Võrratusi kujul ax + b > 0 (või ax + b < 0 või ax + b ≥ 0 või ax + b ≤ 0) nimetatakse ühe muutujaga lineaar­võrratusteks.

Võrratusel, seal­hulgas ka lineaar­võrratusel, on tavaliselt lõpmata palju lahendeid. Võrratuse lahendid moodustavad reaal­arvude hulga mingi osa­hulga (piir­konna). Seda saab kujutada ka arv­teljel.

Reaal­arvude piir­konnad ja nende tähised on esitatud järgnevas tabelis.

Mõni­kord kasutatakse vahemike ja pool­lõikude tähistustes ümar­sulgude asemel ka sümboleid ] ja [. Näiteks vahemikku (a; b) märgitakse ]a; b[ ja pool­lõiku (–∞; c] tähistatakse ]–∞; c].

Kuna võrratusel on tavaliselt lõpmata palju lahendeid, siis kõiki neid kontrollida pole võimalik. See­tõttu tuleb lahendamisel kindlasti kasutada ainult selliseid teisendusi, mille korral võrratuse lahendi­hulk ei muutu. Selleks sobivad võrratuse omadused 1–4.

Näide 1.

Lahendame võrratuse x + 1 < 6x – 4. Kõige­pealt toome x sisaldavad liikmed vasakule ja üle­jäänud liikmed paremale.

x + 1 < 6x – 4

x – 6x < – 4 – 1

–5x < –5 | : (–5) ⇔ x > 1

NB! Negatiivse arvuga võrratuse pooli jagades muutub võrratuse märk vastu­pidiseks.

Vastus. x > 1 ehk (1; ∞) ehk x ∈ (1; ∞).

Näide 2.

Lahendame võrratuse (x – 1)2 – (x – 1)(x+ 1) < 3 – 2x.

(x – 1)2 – (x – 1)(x+ 1) < 3 – 2x

x2 – 2x + 1 – x2 + 1 < 3 – 2x

–2x + 2x < 3 – 2

0 < 1

Saime tõese arv­võrratuse. Järelikult sobib esi­algse võrratuse lahendiks mis tahes reaal­arv.

Vastus. x ∈ R ehk –∞ < x < ∞ ehk x ∈ (–∞; ∞).

Näide 3.

Leiame, mis­sugused naturaal­arvud sobivad võrratuse \frac{3x-3}{6}+\frac{x+1}{2}\le4 lahenditeks.

Antud võrratuses esinevad murrud, mille nimetajateks on arvud. Siis on mõistlik kõige­pealt nimetajatest vabaneda. Selleks korrutame võrratuse pooli murdude ühise nimetajaga ja see­järel taandame.

\frac{3x-3}{6}+\frac{x+1}{2}\le4\ |\cdot6

\frac{6\left(3x-3\right)}{6}+\frac{6\left(x+1\right)}{2}\le6\cdot4

3x-3+3\left(x+1\right)\le24

6x\le24\ |\ :\ 6

x\le4

Kujutame saadud võrratuse lahendid arv­teljel. Jooniselt on näha, et võrratuse lahendite hulka kuuluvad naturaal­arvud on 0, 1, 2, 3 ja 4.

Märkus. Lahendage võrratus ka selliselt, et toote kõige­pealt esimese murru lugejas 3 sulgude ette ja taandate seda murdu.

Vastus. 0, 1, 2, 3 ja 4.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Ülesanne 194.1 Võrratuse lahendi­hulga kujutamine

Kujutage võrratuse lahendi­hulka vihikus arv­teljel.

  1. x\in\left(-4;\ 0\right)
  2. x\in\left(-3;\ 2\right]
  3. x\in\left(-∞;\ -2\right)
  4. x\in\left(1;\ 2\right]\cup x\in\left(4;\ ∞\right)

Ülesanne 194.2 Võrratuse lahendi­hulga kujutamine

Kujutage võrratuse lahendi­hulka vihikus arv­teljel.

  1. 3\le x<6
  2. x\ge2
  3. -1\le x\le4
  4. x\le-3\cup0\le x<4

Arv­teljel esitatud lahendi­hulk

Võrratusena kirjutatud lahendi­hulk

Arv­teljel esitatud lahendi­hulk

Võrratusena kirjutatud lahendi­hulk

5\left(x-2\right)>2x-8

4\left(5x+3\right)-2\le25x-10

x+\sqrt{2}\ge1+2x

3\left(t-1\right)+6<2\left(t-2\right)+t

\frac{2x-5}{3}\ge-1

4-2\left(x-\frac{1}{2}\right)>2x+3\left(x-3\right)

\frac{2x-1}{3}-\frac{x}{6}-3\le\frac{3x-20}{6}

\frac{3+x}{-2}+\frac{4-x}{-4}<0

\left(2x-1\right)^2>2x\left(2x-2\right)+1

\left(3-5x\right)^2\ge9+5x\left(5x-6\right)

Jagatis

Missuguste x väärtuste korral on jagatis suurem kui 1?

\frac{2x-4}{6}

\frac{5-6x}{-6}

\frac{16x-11}{5}

Jagatis

Missuguste x väärtuste korral on jagatis suurem kui 1?

\frac{-15x+2}{3}

\frac{11x-35}{-2}

\frac{6-8x}{2}

\frac{2x+5}{4}\le\frac{x+4}{3}

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

\frac{x}{2}+3<\frac{x}{4}+4

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

5\left(x+1\right)-x\left(7-x\right)>x^2

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

15x-23\left(x+1\right)>2x+11

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Vastus. Aia teine külg võib olla kuni  m pikkune.

Vastus. Ujula võib rajada kuni  km kaugusele.

Vastus. Osta võib kartuleid hinnaga alla  €/kg.

Vastus. Isa sisse­tulek peaks olema vähemalt  € aastas.

Milline peaks olema autoga läbi­sõidetavate kilo­meetrite arv, et auto laenutamine firmast B oleks odavam kui firmast A?

Vastus. Läbi­sõidetavate kilo­meetrite arv peaks olema üle  km.

Vastus. See küünal võib põleda kuni  tundi.

Vastus. Et poole­hoid antud parteile oleks suurem kui eelmisel korral, peaksid nad saama üle  % kõigist häältest.

Vastus. Mõlemad kraanid võivad olla korraga avatud kuni  min.

Vastus. Kui 2x – 5 > 0, siis x ∈ . Selles vahemikus paikneb sirge .

Vastus. Funktsiooni väärtused on negatiivsed, kui x ∈ .

Joon. 1.11
  1. 0,5x – 2 > 0
    Vastus. 
  2. –2x + 4 ≤ 0
    Vastus. 
  3. x + 2 > 1
    Vastus. 
  4. -\frac{2}{3}x-2<0
    Vastus. 
Joon. 1.11
  1. -\frac{2}{3}x-2<-2
    Vastus. 
  2. 0,5x – 2 ≤ 0
    Vastus. 
  3. 0,5x-2\ge-\frac{2}{3}x-2
    Vastus. 
  4. –2x + 4 < 2
    Vastus. 

x2 – 8x + 3 – a = 0

Vastus. .

x2 – 12x + a = 0

Vastus. .

x2 – 14x + a – 1 = 0

Vastus. .

x2 + 4x + 5 – a = 0

Vastus. .

Vastus. Funktsiooni y = 0,5(3 – 2x) väärtused ei ületa funktsiooni y = –4x + 6 väärtusi, kui .

Seotud sisu
Muud tegevused