Ruut­võrratused

Kursus „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused”

Näide 1.

Pere kavatseb aeda rajada rist­küliku­kujulise lille­peenra. Neil on selleks kasutada 18 m ääre­kive. Millised tuleks valida peenra mõõtmed, et selle pindala oleks vähemalt 14 m2?

Olgu peenra ühe külje pikkus x m, siis teise külje pikkus tohib olla kuni (9 – x) m. Ülesande tingimuste kohaselt x(9 – x) ≥ 14 ehk 9x – x2 ≥ 14 ehk x2 – 9x + 14 ≤ 0. See on ruut­võrratus.

Ühe muutujaga ruut­võrratuse üld­kuju on ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0.

Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest ≥, <, ≤.

Ruut­võrratusi on kõige lihtsam lahendada vastava ruut­funktsiooni graafiku abil. Tuletamegi esmalt meelde ruut­funktsiooni omadusi.

  1. Kuidas nimetatakse selle funktsiooni graafikut?
  2. Millest sõltub, kas selle ruut­funktsiooni graafik avaneb üles või alla?
  3. Millal on sellel funktsioonil kaks erinevat null­kohta, kaks võrdset null­kohta, millal null­kohad puuduvad?

Kokku­võtte ruut­funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kõik­võimalikest asenditest x-telje suhtes sõltuvalt diskriminandi D = b2 – 4ac ja kordaja a väärtustest annab joonis 1.12.

Joon. 1.12
  1. Milliste x väärtuste korral asub graafik all­pool x-telge? Valige sellest vahemikust vähemalt 3 erinevat x väärtust ja leidke graafikult vastavad y väärtused. Millise tulemuseni jõuate?
  2. Milliste x väärtuste korral asub graafik ülal­pool x-telge? Uurige funktsiooni väärtusi selles vahemikus ala­punkti 1 ees­kujul.
  3. Mida tähendab graafiliselt võrratuse x2 – 3x > 0 lahendamine?
  4. Mida tähendab graafiliselt võrratuse x2 – 3x < 0 lahendamine?

Ruut­võrratuse ax2 + bx + c > 0 lahendamiseks

  1. lahendame ruut­võrrandi ax2 + bx + c = 0, nii saame vastava parabooli null­kohad (kui need on olemas);
  2. skitseerime funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku;
  3. leiame graafikult, millistel x väärtustel on funktsiooni väärtused positiivsed ehk kus graafik asub ülal­pool x-telge.

Näide 1 (järg).

Lahendame saadud ruut­võrratuse x2 – 9x + 14 ≤ 0:

  1. lahendame ruut­võrrandi x2 – 9x + 14 = 0 ja saame x1 = 2, x2 = 7;
  2. skitseerime parabooli y = x2 – 9x + 14 (joon. 1.13);
  3. leiame jooniselt, millistel x väärtustel on y ≤ 0. Saame vastuseks x ∈ [2; 7].

Vastus. Peenra ühe külje pikkuseks võib võtta x ∈ [2; 7] meetrit, teise külje pikkus on siis vastavalt 9 − x meetrit.

Joon. 1.13

Näide 2.

Lahendame võrratuse –16x2 + 24x – 9 > 0.

Kuna x2 kordaja on negatiivne, avaneb vastav parabool alla. Kui soovime, võime ülesande lahendada ka üles avaneva parabooli abil. Selleks korrutame võrratuse pooli arvuga –1:

–16x2 + 24x – 9 > 0 |⋅ (–1) ⇔ 16x2 – 24x + 9 < 0

16x2 – 24x + 9 = 0

x1 = x2 = 0,75

Vastus. Lahendid puuduvad (sest funktsiooni y = 16x2 – 24x + 9 väärtus pole kunagi negatiivne, joon. 1.14).

Märkus. Võrratused −16x2 + 24x − 9 > 0 ja 16x2 − 24x + 9 < 0 on sama­väärsed (võrratuse poolte korrutamine arvuga −1 on võrratuse samasus­teisendus), seega on nendel võrratustel täpselt samad lahendid.

Joon. 1.14

Näide 3.

Lahendame võrratuse (x + 1)(3 – 2x) > 0.

Ka siin on tegemist ruut­võrratusega. Leiame kõige­pealt vastava parabooli null­kohad võrrandist (x + 1)(3 – 2x) = 0. Kahe teguri korrutis on 0 siis, kui kas­või üks teguritest on 0. Saame:

(x + 1)(3 – 2x) = 0

x + 1 = 0 ⇔ x = –1

3 – 2x = 0 ⇔ x = 1,5.

Vastus: x ∈ (–1; 1,5), joon. 1.15.

Joon. 1.15

Näide 4.

Lahendame võrratuse x2 ≥ 4.

Saame:

x2 ≥ 4 ⇔ x2 – 4 ≥ 0

x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

Kuidas saaks veel seda võrratust lahendada?

Vastus. x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; ∞)

Joon. 1.16

Näide 5.

Lahendame võrratuse x2 − 2x + 4 > 0. Parabooli null­kohtade leidmisel võrrandist x2 − 2x + 4 = 0 saame, et

x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}.

Kuna selle võrrandi diskriminant on negatiivne, puuduvad antud võrrandil lahendid ja seega ka vastaval paraboolil null­kohad. Skitseerime parabooli ja näeme jooniselt 1.17, et funktsiooni y = x2 − 2x + 4 väärtus on iga x korral positiivne.

Vastus. x ∈ (−∞; ∞).

Joon. 1.17
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

x2 + 4x – 5 > 0

x2 + 4x + 5 < 0

x2 – 6x + 8 > 0

x2 – 6x – 8 < 0

4x2 + 13x – 12 < 0

4x2 + 3x + 1 > 0

–2x2 + 3x + 2 ≤ 0

5x2 + 7x + 1 ≤ 0

2(x – 1)(x + 1) > 5x – 4

16(x – 4)2 ≤ 256

–x2 – 4x – 1 > 0

4t2 + 12t + 9 < 0

5u2 – 2u + 10 > 0

5s2 – 6s + 10 < 0

(x – 2)(x + 1) > 0

(x – 5)(x + 3) ≤ 0

(2x + 1)(x – 2) < 0

(2x – 3)(3x – 2) > 0

(x – 1)(3 – x) ≥ 0

(x + 3)(1 – 2x) < 0

(4x – 5)(1 – x) < 0

(5 – 8x)(4 – 2x) ≥ 0

x2 – 4x + 4 > 0

x2 – 2x + 1 > 0

–9x2 + 6x – 1 < 0

–4x2 + 20x – 25 < 0

x2 – 10x + 25 < 0

x2 + 2x > 6x – 15

x2 – 11x + 30 > 0

4x2 + 1 < 4x

3x2 ≥ 5x + 2

–x2 – 5x – 4 < 0

16x2 – 8x + 1 ≤ 0

x2 < 2x

x2 – 6 < 0

–9x2 + 24x – 16 ≥ 0

x2 + 1 > 0

(x + 1)(1 – x) ≤ 0

25 ≤ 4x2

(2x – 1)2 > 1

x2 ≤ 25

–x2 ≤ 3

x2 > 4x

x2 + 16 < 0

–x2 > 5x

x2 + 4x + 10 > 0

  • x2 – 10x + 25 > 0
  • x2 + 3 ≤ 0
  • –5 + 4x – 3x2 > 0
  • –5x2 – 8x + 4 < 0
  • 3x2 ≤ 0
  • 9x ≤ x2
  • –x2 + 10x – 25 ≥ 0
  • x2 – 5 ≥ 0
  • 2(3x – 2)2 – 0,5 < 0

Vastus. 

Vastus. 

Vastus. a ∈  ja b ∈ .

Vastus. See muru­riba peab olema alla  m.

Vihje
Olgu klassi­ruumi pikkus a, siis laius on 16 – a. Näidake, et võrratusel a(16 – a) > 64 puuduvad lahendid.

(2x-3)(x+4)<05(x+1)-6≥0

Vastus. .

x2-x>02(x-2)<10

Vastus. .

x2+20≤9xx+1>0

Vastus. .

Seotud sisu
Muud tegevused