Täis­nurkse kolm­nurga lahendamine

Kursus „Trigonomeetria”

Eelmises peatükis vaatlesime, kuidas leida sin α, cos α ja tan α väärtust, kui terav­nurk α on teada. Selgitame nüüd vastu­pidist, kuidas leida nurka α, kui teada on sin α, cos α või tan α väärtus.

Tasku­arvutil on selleks vastavalt klahvid arcsin, arccos, arctan või sin–1, cos–1, tan–1.

Mõningate arvutite korral tuleb kasutada klahvi­kombinatsiooni arc sin, arc cos, arc tan või INV sin, INV cos, INV tan.

Näide 1.

Leiame nurga α, kui cos α = 0,7065.

Toimime, olenevalt arvutist, kas skeemi järgi

0,7065 cos–1 või 0,7065 INV cos või cos–1 0,7065 ENTER.

Tulemuseks saame 45,04915°, mille teisendame kraadideks ja minutiteks. Selleks kirjutame vihikusse 45°, arvutil lahutame aga ekraanil olevast nurgast 45°. Ekraanile jäänud nurga murdosa 0,04915° korrutame 60-ga (sest 1° = 60') ja ekraanile saame 2,949'. Vihikusse kraadide kõrvale kirjutame aga 3', sest minutite kümnendikke on 9. Seega α ≈ 45°3'.

sin α = 0,5
α = 

tan α = 1
α = 

cos α = 0,8660
α = 

sin α = 0,0505
α = 

tan α = 52,44
α = 

cos α = 0,9234
α = 

sin α = 0,5008
α = 

tan α = 4,9985
α = 

cos α = 0,0084
α = 

sin α = 0,9393
α = 

tan α = 8,8888
α = 

cos α = 0,4321
α = 

Sageli on tarvis ise­loomustada maan­teed, treppi, mäe­nõlva jne. järskuse seisu­kohalt, s.t tõusu või languse suuruse seisu­kohalt. Selleks sobib nn tõusu­nurk (joon. 2.9), s.o nurk objekti ja horisondi vahel. Paremaks peetakse aga tõusu­nurga tangensit, mida nimetatakse tõusuks. Tõusu tähistatakse tavaliselt tähega k. Seega tõus

k = tan α,

kus α on tõusu­nurk.

Joon. 2.9
Joon. 2.10

Tõus annab tavaliselt rohkem informatsiooni kui tõusu­nurk. Vaatleme näiteks joonisel 2.10 olevaid liiklus­märke. Neist esimene märgib tõusu (12%) ja tähendab, et tee tõuseb iga 100 meetri kohta 12 meetrit (k = 0,12). Teine liiklus­märk näitab langust (10%), kus­juures tee langeb iga 100 meetri kohta 10 meetrit (k = 0,10). Tee tõusu järgi saame leida tee tõusu­nurga (6°51') või langus­nurga (5°43'). Need annaks aga auto­juhile vähem vajalikku informatsiooni kui tõus protsentides.

Matemaatikas ja ka teatud elu­aladel on tähtsal kohal oskus lahendada täis­nurkseid kolm­nurki, mis tähendab kolm­nurga puuduvate nurkade ja külgede (lühemalt: puuduvate elementide) leidmist. Vahel arvatakse kolm­nurga lahendamise juurde ka kolm­nurga pindala leidmine.

Tegelikult lahendasime täis­nurkseid kolm­nurki juba eelmises peatükis (näited 3 ja 4).

Näide 2.

Lahendame täis­nurkse kolm­nurga ja leiame pindala, kui kaatetid on a = 13 dm ja b = 11 dm.

Lahendus:

  1. c=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{13^2+11^2} = \sqrt{169+121} = \sqrt{290} ≈ 17,03\ \mathrm{\left(dm\right);}
  2. \tan\mathrm{\mathrm{\alpha}}=\frac{a}{b}=\frac{13}{11}\approx1,1818; \mathrm{\alpha}\approx49\degree46';
  3. \mathrm{\beta}=90\degree-49\degree46'=40\degree14';
  4. S=\frac{ab}{2}=\frac{13\cdot11}{2}=71,5\ \mathrm{\left(dm^2\right).}

Vastus. c ≈ 17,0 dm, α ≈ 49°46', β ≈ 40°14', S = 71,5 dm2.

Täis­nurksete kolm­nurkade lahendamise teel on võimalik leida otseselt mitte­mõõdetavaid suurusi ja lahendada väga mitme­suguseid geomeetria ülesandeid.

Näide 3.

Vee­kogu laiuse mõõtmisel kohal AB (joon. 2.11) märgitakse kaldale nn baas. Olgu see CB = 100 m, mis on risti lõiguga AB. Leiame vee­kogu laiuse AB, kui γ = 71°.

Joon. 2.11

Et täis­nurkses kolm­nurgas ABC on CB = 100 m ja γ = 71°, siis \tan71\degree=\frac{AB}{100}. Viimasest võrdusest AB = 100 · tan 71° ≈ 290 (m).

Vastus. Vee­kogu laius on 290 m.

Näide 4.

Rombi (joon. 2.12) külg on 10 cm ja üks nurk on 76°. Leiame rombi pindala.

Joon. 2.12

Järelikult on a = 10 cm ja α = 76°. Et romb on võrdsete külgedega rööp­külik, siis saab pindala arvutada valemiga S = ah. Leiame täis­nurksest kolm­nurgast kõrguse h.

Kuna \sin\mathrm{\alpha}=\frac{h}{a}, siis

h = a ⋅ sin α = 10 ⋅ sin 76° ≈ 10 ⋅ 0,9703 ≈ 9,70 (cm).

Nüüd S = 10 ⋅ 9,7 = 97 cm2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Joon. 2.13

Vastus. Sellise trepi tõus on  ja tõusu­nurk .

Vastus. Järsem on  trepp.

a = 6,5 cm ja b = 15,6 cm

Vastus. c =  cm, α = , β = .

α = 23°46' ja c = 50 cm

Vastus. a =  cm, b =  cm, β = .

a = 2,4 cm ja b = 3,2 cm

Vastus. c =  cm, α = , β = .

β = 36°54' ja c = 870 m

Vastus. b =  m, a =  m, α = .

a = 15 cm ja c = 35 cm

Vastus. b =  cm, α = , β = .

β = 58°45' ja b = 180 m

Vastus. a =  m, c =  m, α = .

b = 10 dm ja c = 15 dm

Vastus. a =  dm, β = , α = .

β = 11°30' ja a = 0,84 cm

Vastus. b =  m, c =  m, α = .

β = 45°, c = 6 cm

Vastus. a =  cm, b =  cm, α = , S =  cm2.

α = 45°35', a = 100 m

Vastus. b =  m, c =  m, β = , S =  m2.

α = 80°, b = 75 m

Vastus. a =  m, c =  m, β = , S =  m2.

b = 65 cm, c = 95 cm

Vastus. a =  cm, β = , α = , S =  cm2.

Vastus. Silla pikkus on  m.

Vastus. Laeva kaugus tule­tornist on  m.

Vastus. Päikese­kiirte langemis­nurk on siis .

Vastus. Korstna kõrgus on  m.

Vastus. Ellinor võidab  m ja raud­tee­jaam paistab  nurga all.

Vastus. Lennuk peab hakkama laskuma  km kaugusel lennu­väljast.

Vastus. Teine kaatet on  cm ja hüpotenuus  cm ning teravnurgad  ja .

Vastus. S =  cm2.

Vastus. Rombi külg on  cm ja pindala  cm2.

Vastus. Rombi nurgad on , , , .

Vastus. S =  cm2.

Seotud sisu
Muud tegevused