Kursus „Trigonomeetria”
Matemaatikas nimetatakse kellaosutite pöörlemissuunale vastupidist (vastupäeva) pöörlemise suunda positiivseks pöörlemissuunaks. Kellaosutite liikumise suunas (päripäeva) pöörlemist nimetatakse negatiivseks pöörlemissuunaks (joon. 2.16).
 Joon. 2.16 | ||||||
 Joon. 2.17 | ||||||
Näiteks joonisel 2.17 pöörleb hammasratas A negatiivses suunas, hammasratas B aga positiivses suunas.
Vaatleme jooniseid 2.18 ja 2.19. Pöörame joonisel 2.18 olevat kiirt AB ümber punkti A positiivses suunas 30° võrra. Joonisel 2.19 olevat kiirt DE pöörame ümber punkti D aga negatiivses suunas 45° võrra. Kiire asendit, millest pöörlemine algab (AB ja DE), nimetatakse nurga alghaaraks ehk liikumatuks haaraks. Kiire lõppasendit (AC ja DF) nimetatakse nurga lõpphaaraks ehk liikuvaks haaraks.
Et nurk BAC tekkis kiire pöörlemisel positiivses suunas, siis öeldakse, et tegemist on positiivse nurgaga ning kirjutatakse α = 30°. Negatiivne nurk EDF tekib kiire pöörlemisel negatiivses suunas ja selle nurga suurust väljendatakse negatiivse arvuga ning kirjutatakse, et β = –45°.
Geomeetriliselt märgitakse nurgale kaarekese ja noole abil kiire liikumise suund nagu näha joonistel 2.18 ja 2.19.
Ümber alguspunkti O pöörlev kiir (joon. 2.20) moodustab igal momendil mingisuguse nurga oma esialgse asendi suhtes. Näiteks asendis OB moodustab positiivses suunas pöörlev kiir algasendi OA suhtes nurga AOB, mis on 60°. Kui kiir jõuab pöörlemisel teistkordselt asendisse OA (joon. 2.21), on tegemist nurgaga 360°.
 Joon. 2.20 | ||||||
 Joon. 2.21 | ||||||
Siit järeldus:
täispööre on 360°.
Kiire edasisel pöörlemisel tekivad nurgad, mis on suuremad kui 360°. Asend OB (joon. 2.20) tähendab nüüd nurka 60° + 360° = 420°, kolmandal pöördel nurka 60° + 2 ⋅ 360 = 780° jne.
Eelnevast selgub, et positiivsete nurkade korral võib üks ja seesama joonis kujutada erineva suurusega nurki, kusjuures erinevus on k ⋅ 360°, kus k = 0, 1, 2, …. Seega on iga positiivne nurk esitatav kujul
α + k · 360°, kus 0° ≤ α < 360° ja k = 0, 1, 2, 3, ....
Näide 1.
Teisendame nurga 1132° viimati nimetatud kujule.
Et 1132 : 360 = 3, jääk 52, siis 1132° = 52° + 3 · 360° ning α = 52° ja k = 3.
 Joon. 2.22 |
||||||||
Ka negatiivseid nurki saab esitada kujul α + k · 360°, kus 0° ≤ α < 360°. Vaatleme nurki, mis tekivad kella minutiosuti pöörlemisel (joon. 2.22). Loeme nurga alghaaraks osuti asendi OA. Kui minutiosuti on jõudnud asendisse OB, on ∠AOB = –210°. Jõudes uuesti asendisse OA, tekib nurk –360°. Edasi saame nurgad –210° – 360° = –570° ehk (360° – 210°) – 2 ⋅ 360° = 150° – 2 ⋅ 360°, –210° – 2 ⋅ 360° = –970° ehk (360° – 210°) – 3 ⋅ 360° = 150° – 3 ⋅ 360° jne.
See tähendab, et ka negatiivse nurga korral võib sama joonis kujutada erineva suurusega nurki, mille erinevus on k · 360°, kus nüüd on k = –1, –2, –3, …. Seega saab ka iga negatiivset nurka kirjutada kujul α + k ⋅ 360°, kus 0° ≤ α < 360°, k = –1, –2, –3, ....
Näide 2.
Esitame nurga –820° kujul α + k · 360°, kus α ≥ 0°.
Et 820 : 360 = 2, jääk 100, siis
–820° = –100° – 2 ⋅ 360° = (360° – 100°) – 3 ⋅ 360° = 260° + (–3) ⋅ 360°;
siin α = 260° ja k = –3.
Võrreldes positiivse ja negatiivse nurga üldavaldist, näeme, et erinevus on vaid k väärtustes. Seega,
iga nurk x on esitatav kujul x = α + n ⋅ 360°, kus 0° ≤ α < 360° ja n ∈ Z.
Ülesanded
- pöörleb auto vasakpoolne ratas, vaadates autot vasakult poolt;
- pöörleb auto parempoolne ratas, vaadates autot paremalt poolt;
- tuleb pöörata kraani, et vesi jooksma hakkaks;
- pöörleb Maa vaadatuna põhjapooluse kohalt;
- tuleb pöörata kinnitatavat mutrit;
- liiguvad autod ringliiklusega väljakul;
- jooksevad jooksjad staadionil;
- on nummerdatud koordinaattasandi veerandid?
5 minutiga? | |
8 minutiga? | |
33 minutiga? | |
13 minutiga? | |
28 minutiga? | |
1 minutiga? |
Vastus. Rihmaratas pöördub sekundis
Hulknurk | Korrapärane viisnurk | Korrapärane kuusnurk | Korrapärane seitsenurk | Korrapärane kaksteistnurk |
Sisenurk |
β =
γ =
x = 15° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –300° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –10° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °.
x = (–1)n ⋅ 120°+ n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °; x4 = °.
