Trigonomeetriliste funktsioonide valemeid

Kursus „Trigonomeetria”

Mis tahes nurga siinust, koosinust ja tangensit nimetatakse sageli nurga trigonomeetrilisteks funktsioonideks.

1. Terav­nurga α korral kehtivad valemid

sin2α+cos2α=1,   tan α=sin αcos α,   1+tan2α=1cos2α

Osutub, et need valemid kehtivad ka mis tahes nurga α korral. Erinevaks kujuneb aga valemite kasutamine võrreldes terav­nurkade juhuga.

Kui näiteks mõnest valemist avaldada trigonomeetriline funktsioon, mis on ruudus, tuleb arvestada võimalusega, et see võib olla (sõltuvalt nurga α veerandist) kas positiivne või negatiivne.

Näide 1.

Arvutame tan α , kui cos α = –0,4 ja nurk α on teise veerandi nurk.

Kolmandast põhi­valemist saame, et \tan^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{(-0,4)^2}-1=\frac{1}{0,16}-1=5,25.

Kuna teise veerandi nurkade korral on tan α < 0, siis \tan\mathrm{\alpha}=-\sqrt{5,25}\approx-2,2913.

Näide 2.

Arvutame sin α, kui cos α = –0,3162.

Kuna cos α < 0, siis nurk α on kas II või III veerandi nurk. Järelikult on sin α positiivne (II veerandi korral) või negatiivne (III veerandi korral).

Seega \sin\mathrm{\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(-0,3162\right)^2}\approx\pm0,9487.

Vastus. Kui 90° < α < 180°, siis sin α ≈ 0,9487; kui 180° < α < 270°, siis sin α = –0,9487.

2. Kui nurk α on terav­nurk, siis kehtivad ka valemid:

sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sin α, tan(90°-α)=1tan α.

Osutub, et need valemid kehtivad ka siis, kui nurk α ei ole terav­nurk.

Näide 3.

Lihtsustame avaldist cos (45°+ α) – sin (45°– α).

Et (45°+ α) + (45° – α) = 90°, siis

cos (45°+ α) = sin (90°– (45° + α)) = sin (45° – α) ja

cos (45°+ α) – sin (45°– α) = sin (45°– α) – sin (45°– α) = 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

sin α

0,4024

–0,4000

0,4648

cos α

0,9152

0,9165

–0,5650

tan α

–0,5250

–1,4603

sin α, kui cos α = 0,7 ja
α on IV veerandi nurk

Vastus. sin α = 

cos α, kui sin α = –0,1 ja
α on III veerandi nurk

Vastus. cos α = 

cos α, kui tan α = 5 ja
α on III veerandi nurk

Vastus. cos α = 

sin α, kui tan α = –0,47 ja
α on II veerandi nurk

Vastus. sin α = 

tan α, kui cos α = 0,96 ja
α on IV veerandi nurk

Vastus. tan α = 

tan α, kui sin α = 1,02 ja
α on I veerandi nurk

Vastus. tan α = 

tan α, kui cos α = 0,8 ja
α on II veerandi nurk

Vastus. tan α = 

1 + tan2 α, kui cos α = –0,5

Vastus. Kui cos α = –0,5, siis

1 + tan2 α = .

sin α tan α, kui cos α = –0,96

Vastus. Kui cos α = –0,96, siis

sin α tan α = .

cos α – tan α, kui sin α = 0,22 ja 90° < α < 180°

Vastus. Kui sin α = 0,22 ja 90° < α < 180°, siis

cos α – tan α = .

cos α kaudu 1 + sin2 α

1 + sin2 α = 

sin α kaudu 1 – tan2 α – cos2 α

1 – tan2 α – cos2 α = 

tan α kaudu 1 – cos2 α

1 – cos2 α = 

sin 15° = cos °

sin 49° = cos °

cos 3° = sin °

cos 19° = sin °

cos 58° = sin °

sin2 12° + sin2 78° = 

sin 71° ⋅ tan 19° = 

sin2 20° + cos2 70° = 

tan 16° ⋅ tan 74° = 

\frac{1}{\tan^266\degree\cdot\left(1+\tan^224\degree\right)} = 

\frac{\sin^242\degree-\cos^248\degree}{1+\sin27\degree} = 

\tan40\degree\frac{\sin50\degree}{\sin40\degree}-\sin10\degree\cos80\degree= 

\frac{\cos24\degree}{\tan66\degree}\sin24\degree-\frac{\sin15\degree}{\cos75\degree}= 

\sin\mathrm{\alpha}\cos\left(90\degree-\mathrm{\alpha}\right)\left(1+\frac{\sin^2\mathrm{\alpha}}{\sin^2\left(90\degree-\mathrm{\alpha}\right)}\right)= 

Seotud sisu
Muud tegevused