Vektori korrutamine arvuga

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”
Joon. 3.30

Joonisel 3.30 on antud vektor \vec{a} ja see­järel leitud vektor \vec{a}+\vec{a}+\vec{a}. Tulemuseks on vektor \overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}. Lühemalt kirjutatakse seda nii: \overrightarrow{AD}=3\vec{a}. Nagu jooniselt näha, on vektoril \overrightarrow{AD}=3\vec{a} sama siht ja suund kui vektoril \vec{a}, ainult pikkus on 3 korda suurem. Tähistades vektori \vec{a} pikkuse sümboliga \left|\vec{a}\right| (või lihtsalt tähega a), võime kirjutada \left|\overrightarrow{AD}\right|=3\left|\vec{a}\right|.

Vaatleme üld­juhtu k\vec{a}, kus k > 0, s.t k ∈ R+. Sel juhul mõistame korrutise k\vec{a} all vektorit, mille siht ja suund on samad kui vektoril \vec{a}, kuid pikkus \left|k\vec{a}\right| on k korda suurem, s.t

\left|k\vec{a}\right|=k\cdot\left|\vec{a}\right|.

Mida mõistame aga korrutise k\vec{a} all, kui k < 0s.t k ∈ R-? Vaatame näidet, kus k = –2. Siis korrutises -2\vec{a} tähendab märk „−” endiselt vastand­vektorit. Seega on -2\vec{a} vektori 2\vec{a} vastand­vektor. Joonisel 3.30 on leitud vektor 2\vec{a}=\overrightarrow{MP}; seega on \overrightarrow{PM}=-2\vec{a} eelmise vastand­vektor. Öeldust: vektorid -2\vec{a} ja \vec{a} on sama­sihilised, kuid vastand­suunalised ning vektori -2\vec{a} pikkus on \left|-2\vec{a}\right|=\left|-2\right|\cdot\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{a}\right|.

Kui üld­juhul on k < 0, siis mõistame korrutise k\vec{a} all vektorit, mille siht on sama mis vektoril \vec{a}, suund on vastu­pidine vektori \vec{a} suunaga ja pikkus \left|k\vec{a}\right| on \left|k\right| kordne vektori \vec{a} pikkus, s.t

\left|k\vec{a}\right|=\left|k\right|\cdot\left|\vec{a}\right|.

Juhul k = 0, saame korrutiseks k\vec{a} null­vektori, sest

\left|k\vec{a}\right|=0\cdot\left|\vec{a}\right|=0.

Kokku võttes:

arvu k ja vektori a→≠0→ korrutiseks nimetatakse vektorit ka→, mille pikkus ka→=k·a→ ning ka→↑↑a→, kui k > 0, ja ka→↑↓a→, kui k < 0.
​Kui k = 0, on ka→=0→.

Osutub, et vektori korrutamisel arvuga kehtivad järgmised omadused:

1) assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes
​(km)a→=kma→,

2) distributiivsus arvude liitmise suhtes
​(k+m)a→=ka→+ma→,

3) distributiivsus vektorite liitmise suhtes
​ka→+b→=ka→+kb→.

Näide 1.

Avaldame vektori \vec{u}=2\vec{p}-3\left(\vec{p}+\vec{q}\right)-5\vec{q} vektori \vec{a} kaudu, kui \vec{p}=3\vec{a} ja \vec{q}=-2\vec{a}.

Kasutades kirja­pandud omadusi, lihtsustame vektori \vec{u} avaldist:

\vec{u} = 2\vec{p}-3\vec{p}-3\vec{q}-5\vec{q} = -\vec{p}-8\vec{q}.

Esitame vektori \vec{u} vektori \vec{a} kaudu:

\vec{u} = -\left(3\vec{a}\right)-8\left(-2\vec{a}\right) = -3\vec{a}+16\vec{a} = 13\vec{a}.

Seega \vec{u}=13\vec{a}.

Näide 2.

Joonisel 3.31 on antud vektorid \vec{a} ja \vec{b}. Joonestame vektori \vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}.

Joonestame selleks vektorid \overrightarrow{AB}=2\vec{a} ja \overrightarrow{AC}=-3\vec{b} ning liidame need.

Tulemusena saame vektori \overrightarrow{AD}=\vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}.

Joon. 3.31

Vektorit, mille pikkus on 1, nimetatakse ühik­vektoriks.

Üsna tihti märgitakse rist­koordinaadistikus x- ja y-teljele ühik­lõikude asemele ühik­vektorid. Siis kasutatakse nende tähistamiseks vastavalt sümboleid \vec{i} ja \vec{j}. Seega \left|\vec{i}\right|=\left|\vec{j}\right|=1.

Näide 3.

Joonestame koordinaat­teljestikku (joon. 3.32) vektori \vec{a}=-3\vec{i}+2\vec{j}.

Paigutame x-teljele vektori -3\vec{i} ja y-teljele vektori 2\vec{j}.

Nii saame vektorid \overrightarrow{OA} ja \overrightarrow{OB}, mis liites annavad vektori \vec{a}=-3\vec{i}+2\vec{j}.

Joon. 3.32

Näide 4.

Avaldame koordinaat­teljestikus (joon. 3.33) antud vektori \vec{v} ühik­vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu.

Lahutame vektori \vec{v} telgede­sihilisteks komponentideks. Olgu punkti A projektsiooniks x-teljel punkt B(3; 0) ja y-teljel punkt C(0; −2). Siis \vec{v}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.

Et B(3; 0), siis \overrightarrow{OB}=3\vec{i} ja kuna C(0; –2), siis \overrightarrow{OC}=-2\vec{j}. Järelikult \vec{v}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\vec{i}-2\vec{j}.

Joon. 3.33
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Selgitage, milline on järgmiste vektorite siht, suund ja pikkus, võrreldes vektoriga \vec{v}.

Vektor

Siht

Suund

Pikkus

5\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

2,86\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-4\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-0,5\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

Selgitage, milline on järgmiste vektorite siht, suund ja pikkus, võrreldes vektoriga \vec{v}.

Vektor

Siht

Suund

Pikkus

6\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-1\cdot\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

0\cdot\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-44\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

Ülesanne 483.1 Vektori korrutamine arvuga

Joonestage vihikusse vektor \vec{a} ja ka vektorid

4\vec{a}

\frac{3}{4}\vec{a}

-1,2\vec{a}

Ülesanne 483.2 Vektori korrutamine arvuga

Joonestage vihikusse vektor \vec{a} ja ka vektorid

1,5\vec{a}

-3\vec{a}

-\frac{7}{2}\vec{a}

Ülesanne 484.1 Vektori korrutamine arvuga

Joonestage vihikusse mitte­kollineaarsed vektorid \vec{a} ja \vec{b} ning vektorid

\vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}

\vec{v}=-2\vec{a}+\vec{b}

Ülesanne 484.2 Vektori korrutamine arvuga

Joonestage vihikusse mitte­kollineaarsed vektorid \vec{a} ja \vec{b} ning vektorid

\vec{n}=-\vec{a}-\vec{b}

\vec{p}=4\vec{a}-2\vec{b}

Ülesanne 484.3 Vektori korrutamine arvuga

Joonestage vihikusse mitte­kollineaarsed vektorid \vec{a} ja \vec{b} ning vektorid

\vec{q}=1,2\vec{a}+1,4\vec{b}

\vec{s}=0\cdot\vec{a}+1,5\vec{b}

Seejuures AE = ED, AF=\frac{2}{3}AB. Avaldage järgmised vektorid vektorite \vec{a} ja \vec{b} kaudu:

Joon. 3.34

\overrightarrow{AD} = 

\overrightarrow{BC} = 

\overrightarrow{CB} = 

\overrightarrow{AB} = 

\overrightarrow{AC} = 

\overrightarrow{BD} = 

5\vec{b}+3\left(\vec{b}-\vec{a}\right)-4\left(3\vec{b}-2\vec{a}\right)+12\vec{a} = 

2\left(4\vec{v}-5\vec{u}\right)-8\left(\vec{v}+2\vec{u}\right)-4\vec{u} = 

Vektor \vec{u}=4\left(2\vec{m}+3\vec{k}\right)+5\left(2\vec{m}-4\vec{n}\right). Avaldage vektor \vec{u} vektor \vec{k} kaudu, kui \vec{m}=-0,1\vec{k} ja \vec{n}=0,5\vec{k}.

Vastus. \vec{u} = 

Leidke vektor \vec{x}=3\vec{u}-4\vec{v}, kui \vec{u}=2\vec{a}-\vec{b} ja \vec{v}=3\vec{b}-2\vec{a}.

Vastus. \vec{x} = 

Ülesanne 489. Vektori joonestamine koordinaat­teljestikku ühik­vektorite abil

Joonestage koordinaat­teljestikku vektorid

\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}

\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}

\vec{c}=-2\vec{i}-\vec{j}

Ülesanne 490. Vektori avaldamine ühik­vektorite abil

Joonestage koordinaat­teljestik ning telgedele ühik­vektorid \vec{i} ja \vec{j}.See­järel joonestage koordinaat­teljestikku kolm erinevates veerandites asuvat vektorit \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c}, mille algus­punktiks on koordinaatide algus­punkt. Lahutage need vektorid telgede­sihilisteks komponentideks. Avaldage leitud komponendid vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu. Avaldage vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu.

Ülesanne 491. Vektori avaldamine ühik­vektorite abil

Joonestage koordinaat­teljestiku telgedele vähemalt kolm eri­suunalist vektorit, mille algus­punkt on koordinaatide algus­punktis. Millised on nende vektorite telgede­sihilised komponendid?

Avaldage joonestatud vektorid vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu.

Ülesanne 492. Vektori avaldamine ühik­vektorite abil

Joonestage koordinaat­tasandile vektor, mille algus­punkt ei ole koordinaatide algus­punktis.

Lahutage see vektor telgede­sihilisteks komponentideks ning avaldage joonestatud vektor vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu.

Ülesanne 493. Vektori joonestamine koordinaat­teljestikku ühik­vektorite abil

Joonestage koordinaat­teljestikku vektorid

\vec{p}=-3\vec{i}+5\vec{j}

\vec{q}=8\vec{i}

\vec{r}=-4\vec{j}

Seotud sisu
Muud tegevused