Vektori koordinaadid

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Iga koordinaat­tasandil oleva vektori \vec{v} saab üheselt avaldada koordinaat­telgede suunaliste ühik­vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu. Jooniselt 3.35 näeme, et \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{A_2C_2}=X\vec{i}+Y\vec{j}. Seega

v→=Xi→+Yj→.

Joon. 3.35

Arve X ja Y nimetatakse vektori \vec{v} koordinaatideks. Lühemalt kirjutatakse seda nii:

v→=X;Y.

Näide 1.

Kui \vec{v}=9\vec{i}-6\vec{j}, siis vektori \vec{v} koordinaatideks on 9 ja −6 ning me kirjutame

\vec{v}=\left(9;\ -6\right).

Vektori \vec{v} komponentideks x- ja y-teljel (joon. 3.35) on vektorid \overrightarrow{A_1B_1}=X\vec{i} ja \overrightarrow{A_2C_2}=Y\vec{j}. See­juures A_1B_1=\left|X\right| ja A_2C_2=\left|Y\right|. Kolm­nurgast ABD saame Pythagorase teoreemi põhjal \left|\vec{v}\right| = \sqrt{AB^2+BD^2} =\sqrt{A_1B_1^2+A_2C_2^2} = \sqrt{\left|X\right|^2+\left|Y\right|^2} ehk

v→=X2+Y2.

See tähendab, et

vektori pikkus võrdub ruut­juurega vektori koordinaatide ruutude summast.

Näide 2.

Kui \vec{v}=\left(9;\ -6\right), siis selle vektori pikkus

\left|\vec{v}\right| = \sqrt{9^2+\left(-6\right)^2} = \sqrt{81+36} = \sqrt{117} ≈ 10,8.

Joon. 3.36

Vektorit \overrightarrow{OM} (joon. 3.36), mille algus­punkt on koordinaatide algus­punktis, nimetatakse punkti M koha­vektoriks.

Kui M(a; b), siis OM→=a; b.

Tõe­poolest, \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=a\vec{i}+b\vec{j} ehk \overrightarrow{OM}=\left(a;\ b\right).

Näide 3.

Kui M(2,07; –5,3), siis \overrightarrow{OM}=\left(2,07;\ -5,3\right).

Ilmselt

i→=(1; 0) ja j→=(0; 1).

Joon. 3.37

Olgu koordinaat­tasandi esimesse veerandisse joonestatud ühik­vektor \vec{e} (joon. 3.37). Siis OP=\left|\vec{e}\right|=1 ning täis­nurksest kolmnurgast OPQ saame OQ = cos α ja QP = sin α. Järelikult P(cos α; sin α) ja \vec{e}=\left(\cos\mathrm{\alpha};\ \sin\mathrm{\alpha}\right).

Kui e→ on ühik­vektor ja see moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga α, siis e→=(cosα; sinα) ehk e→=cosα·i→+sinα·j→.

Sama kehtib ka siis, kui ühik­vektor \vec{e} on mingi teise veerandi nurk.

Null­vektori koordinaadid on nullid, s.t 0→=(0; 0).

Näitame seda. Oletame, et \vec{0}=\left(a;\ b\right). Siis \left|\vec{0}\right|=0 ehk a^2+b^2=0. Kahe mitte­negatiivse arvu summa saab olla 0 vaid siis, kui kumbki liidetav on null, s.t a^2=b^2=0, millest a=0, b=0. ♦

Ühik­vektorid \vec{i} ja \vec{j} koos koordinaatide algus­punktiga O määravad täielikult koordinaat­teljestiku. Seda on näha näiteks jooniselt 3.38.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

p→=-3i→+5j→

q→=8i→

r→=-4j→

\vec{p} = (; )

\vec{q} = (; )

\vec{r} = (; )

Avaldage järgmised vektorid ühik­vektorite \vec{i} ja \vec{j} kaudu.

\vec{a}=\left(4;\ 5\right)

\vec{a} = 

\vec{b}=\left(-8;\ 7\right)

\vec{b} = 

\vec{c}=\left(1;\ -1\right)

\vec{c} = 

\vec{u}=\left(7;\ 0\right)

\vec{u} = 

\vec{v}=\left(0;\ -3\right)

\vec{v} = 

\vec{u}=\left(2,86;\ 4\right)

\vec{u} = 

Leidke joonisel 3.38 olevate vektorite \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ja \vec{v} lõpp-punkti koordinaadid ja nende vektorite koordinaadid.

Joon. 3.38

Vektor

Lõpp-punkti koordinaadid

Vektori koordinaadid

\vec{a}

(; )

(; )

\vec{b}

(; )

(; )

\vec{c}

(; )

(; )

\vec{v}

(; )

(; )

Ülesanne 497. Vektori joonestamine

Joonestage \vec{a}=\left(4;\ -1\right), võttes vektori algus­punktiks

O\left(0;\ 0\right)

A\left(1;\ 2\right)

B\left(-2;\ 3\right)

Vektor

Vektori pikkus

\vec{a}=\left(4;\ 5\right)

\vec{b}=\left(-8;\ 7\right)

\vec{c}=\left(1;\ -1\right)

\vec{u}=\left(7;\ 0\right)

\vec{v}=\left(0;\ -3\right)

\vec{u}=\left(2,86;\ 4\right)

Joon. 3.39

A(; )

B(; )

C(; )

D(; )

E(; )

F(; )

\vec{a} = (; )

\vec{b} = (; )

\vec{c} = (; )

\vec{d} = (; )

Seotud sisu
Muud tegevused