Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaartehted

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Lineaarteheteks vektoritega nimetatakse vektorite liitmist, lahutamist ja arvuga korrutamist.

Võrdsus

Varasemast teame, et kaks vektorit on võrdsed, kui nende siht, suund ja pikkus on sama.

Vaatleme nüüd, kuidas otsustada vektorite võrdsuse üle, kui vektorid on antud koordinaatidega.

Olgu $\vec{u} = (X_{1}; Y_{1})$ ja $\vec{v} = (X_{2}; Y_{2})$ . Et $\vec{u} = X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}$ ja $\vec{v} = X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j}$ , siis tingimusest $\vec{u} = \vec{v}$ järeldub, et

$X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j} = X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j}$ ehk $(X_{1} - X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} - Y_{2}) \vec{j} = \vec{0}$ .

Nullvektori $\vec{0}$ koordinaadid on nullid, seega

$X_{1} - X_{2} = 0$ ja $Y_{1} - Y_{2} = 0$ ehk $X_{1} = X_{2}$ , $Y_{1} = Y_{2}$ .

Seega,

kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende samanimelised koordinaadid.

Kehtib ka vastupidine:

kui vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, siis on ka vektorid võrdsed.

Näide 1.

Selleks et vektorid \vec{a}=\left(k;\ 1\right) ja \vec{b}=\left(4;\ m\right) oleksid võrdsed, peab k = 4 ja 1 = m, s.t mõlema vektori koordinaadid peavad olema (4; 1).

Seotud sisu

Ülesanded

Leidke täheliste suuruste m ja n väärtused, mille korral \vec{a}=\vec{b}.

\vec{a}	\vec{b}	m	n
(5; –3)	(m – 5; n)
(m²; 2)	(4; n + 2)	või
(0; –1)	(n; m² + 3)
(m; n)	(–m; n²)		või

Seotud sisu

Summa

Vektorid on

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

ja

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

.

Leiame $\vec{a} + \vec{b}$ koordinaadid:

$\vec{a} + \vec{b}$ = $(X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}) + (X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j})$ = $(X_{1} + X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} + Y_{2}) \vec{j}$ .

Vektor $\vec{a} + \vec{b}$ on avaldatud vektorite $\vec{i}$ ja $\vec{j}$ kaudu. Seega on vektori $\vec{a} + \vec{b}$ koordinaatideks $X_{1} + X_{2}$ ja $Y_{1} + Y_{2}$ .

Kui $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})$ ja $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})$ , siis $\vec{a} + \vec{b} = (X_{1} + X_{2}; Y_{1} + Y_{2})$ .

Sõnastatult:

vektorite summa koordinaatideks on liidetavate vektorite vastavate koordinaatide summad.

Näide 2.

Kui \vec{u}=\left(5;\ -8\right), \vec{v}=\left(2;\ 1\right), siis\vec{u}+\vec{v} = \left(5;\ -8\right)+\left(2;\ 1\right) = \left(5+2;\ -8+1\right) = \left(7;\ -7\right).

Seotud sisu

Ülesanded

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right)\vec{a}+\vec{b} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right)\vec{c}+\vec{e} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right)\vec{s}+\vec{t} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right)\vec{k}+\vec{m} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right)\vec{u}+\vec{v} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right)\vec{p}+\vec{q} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right)\vec{d}+\vec{f} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right)\vec{g}+\vec{h} = (; )

Seotud sisu

Vahe

Vektorite

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

ja

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

lahutamisel saame liitmisega analoogilise tulemuse:

$\vec{a} - \vec{b}$ = $(X_{1} \vec{i} + Y_{1} \vec{j}) - (X_{2} \vec{i} + Y_{2} \vec{j})$ = $(X_{1} - X_{2}) \vec{i} + (Y_{1} - Y_{2}) \vec{j}$ .

Kui $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})$ ja $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})$ , siis $\vec{a} - \vec{b} = (X_{1} - X_{2}; Y_{1} - Y_{2})$ .

Sõnastatult:

vektorite vahe koordinaatideks on lahutatavate vektorite vastavate koordinaatide vahed.

Näide 3.

Leiame \vec{u}-\vec{v}, kui \vec{u}=\left(5;\ -8\right), \vec{v}=\left(2;\ 1\right).\vec{u}-\vec{v} = \left(5;\ -8\right)-\left(2;\ 1\right) = \left(5-2;\ -8-1\right) = \left(3;\ -9\right).Seega \vec{u}-\vec{v}=\left(3;\ -9\right).

Seotud sisu

Ülesanded

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right)\vec{a}-\vec{b} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right)\vec{c}-\vec{e} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right)\vec{s}-\vec{t} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right)\vec{k}-\vec{m} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right)\vec{u}-\vec{v} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right)\vec{p}-\vec{q} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right)\vec{d}-\vec{f} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right)\vec{g}-\vec{h} = (; )

Vektoritele \vec{a}=\left(-1;\ 4\right) ja \vec{b}=\left(-2;\ 0\right) on konstrueeritud rööpkülik. Arvutage selle rööpküliku diagonaalide pikkused.

Vastus. Selle rööpküliku diagonaalide pikkused on ja .

Seotud sisu

Korrutamine arvuga

Leiame vektori

k \vec{a}

koordinaadid, kui

\vec{a} = (X; Y)

:

$k \vec{a}$ = $k \cdot (X \vec{i} + Y \vec{j})$ = $(k X) \vec{i} + (k Y) \vec{j}$ .

Seega,

kui $\vec{a} = (X; Y)$ , siis $k \vec{a} = (k X; k Y)$ .

Sõnastatult:

vektori korrutamisel mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaadid.

Näide 4.

Leiame vektori -5\vec{a}, kui \vec{a}=\left(-2;\ 4\right).Vektor -5\vec{a} = \left(-5\cdot\left(-2\right);\ -5\cdot4\right) = \left(10;\ -20\right).

Kui

\vec{a} = (X; Y)

, siis tema vastandvektor

- \vec{a} = (- 1) \cdot \vec{a} = (- X; - Y)

.

Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud.

Näide 5.

Vektori \vec{w}=\left(-1;\ 4\right) vastandvektor on -\vec{w}=\left(1;\ -4\right).

Seotud sisu

Ülesanded

\vec{a}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=\left(3;\ 1\right), \vec{x}=2\vec{a}-\vec{b}\vec{x} = (; )

\vec{c}=\left(1,2;\ 0,8\right), \vec{e}=\left(0,8;\ -1,2\right), \vec{a}=1,5\vec{c}+2,5\vec{e}\vec{a} = (; )

\vec{s}=\left(2a;\ -b\right), \vec{t}=\left(-a;\ -4b\right), \vec{v}=2\left(\vec{s}+\vec{t}\right)+\vec{t}\vec{v} = (; )

\vec{k}=\left(-a;\ b+4\right), \vec{m}=\left(a;\ -b\right), \vec{c}=5\vec{k}-2,5\vec{m}\vec{c} = (; )

\vec{u}=\left(0;\ -8\right), \vec{v}=\left(-9;\ 10\right), \vec{y}=0,25\vec{u}+2\vec{v}\vec{y} = (; )

\vec{p}=\left(-2;\ 11\right), \vec{q}=\left(2;\ -11\right), \vec{u}=2\vec{p}-3\vec{q}+0\cdot\vec{c}\vec{u} = (; )

\vec{d}=\left(0;\ 0\right), \vec{f}=\left(4;\ -3\right), \vec{p}=b\vec{d}+b\vec{f}+4\vec{f}\vec{p} = (; )

\vec{g}=\left(4;\ -5\right), \vec{h}=\left(4;\ -5\right), \vec{b}=-3\left(\vec{g}-\vec{h}\right)+2\vec{h}\vec{b} = (; )

Leidke joonisel 3.39 olevate vektorite summa \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} koordinaadid.

Joon. 3.39

\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = (; )

Seotud sisu

Kollineaarsus

Varasemast teame, et vektorid \vec{a} ja \vec{b}=k\vec{a} on samasihilised ehk kollineaarsed. Vastupidi, kui \vec{a} ja \vec{b} on (ja \left|\vec{a}\right|\ne0), siis leidub arv k nii, et \vec{b}=k\vec{a}. Vaatleme, kuidas kajastub see koordinaatides.Olgu

\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})

ja

\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})

. Et \vec{b}=k\vec{a}, siis

X_{2} = k X_{1}

ja

Y_{2} = k Y_{1}

. Viimastest võrdustest

k = \frac{X_{2}}{X_{1}}

ja

k = \frac{Y_{2}}{Y_{1}}

, millest omakorda

$\frac{X_{2}}{X_{1}} = \frac{Y_{2}}{Y_{1}}$ .

Sõnastatult:

kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised.

Kehtib ka vastupidine:

kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed.

Näide 6.

Leiame, millised vektoritest \vec{a}=\left(-6;\ 4\right), \vec{b}=\left(3;\ -2\right), \vec{c}=\left(12;\ 8\right)on kollineaarsed, millised mitte.Et vektorite \vec{a} ja \vec{b} korral \frac{-6}{3}=\frac{4}{-2}, siis \vec{a}\ \parallel\ \vec{b}, s.t \vec{a} ja \vec{b} on kollineaarsed.Kuna \vec{a}=-2\vec{b}, siis saame täiendavalt lisada, et vektorid \vec{a} ja \vec{b} on vastassuunalised, sümboleis \vec{a}\ \uparrow\downarrow\ \vec{b}.Vektorid \vec{a} ja \vec{c} , samuti \vec{b} ja \vec{c} ei ole kollineaarsed, sest \frac{-6}{12}\ne\frac{4}{8} ja \frac{3}{12}\ne\frac{-2}{8}.

Seotud sisu

Ülesanded

$\vec{a} = (4; - 5)$ , $\vec{b} = (3; 1)$
$\vec{u} = (0; - 8)$ , $\vec{v} = (- 9; 10)$
$\vec{c} = (1,2; 0,8)$ , $\vec{e} = (0,8; - 1,2)$
$\vec{p} = (- 2; 11)$ , $\vec{q} = (2; - 11)$

$\vec{s} = (2 a; - b)$ , $\vec{t} = (- a; - 4 b)$
$\vec{d} = (0; 0)$ , $\vec{f} = (4; - 3)$
$\vec{k} = (- a; b + 4)$ , $\vec{m} = (a; - b)$
$\vec{g} = (4; - 5)$ , $\vec{h} = (4; - 5)$

Leidke kolm vektoriga \vec{u}=\left(-12;\ 9\right) kollineaarset vektorit.

\vec{a}=\left(-5;\ 4\right), \vec{b}=\left(10;\ Y\right)
Y =

\vec{u}=\left(0,5;\ 1,2\right), \vec{v}=\left(X;\ 4,8\right)
X =

\vec{p}=\left(1;\ -2\right), \vec{q}=\left(0,23;\ Y\right)
Y =

\vec{s}=\left(X;\ 5\right), \vec{t}=\left(3;\ 4\right)
X =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaar­tehted

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Seotud sisu

Võrdsus

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Summa

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Vahe

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Korrutamine arvuga

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Kollineaarsus

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaartehted