Vektorite skalaar­korrutis

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”
Joon. 3.42

Liikugu koorem punktist B punkti C jõu \overrightarrow{F} mõjul (joon. 3.42). Et jõud \overrightarrow{F} moodustab liikumis­suunaga BC terav­nurga φ, siis teeb tööd vaid jõu liikumis­suunaline komponent \overrightarrow{P}. Seega töö A=BC\cdot\left|\overrightarrow{P}\right|.

Et liikumise suuna ja tee pikkuse määrab vektor \overrightarrow{BC}, siis BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|. Jõu \overrightarrow{P} suurus \left|\overrightarrow{P}\right| avaldub jõu \overrightarrow{F} kaudu aga järgmiselt: \left|\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi. Seega on keha liikumisel punktist B punkti C jõu \overrightarrow{F} poolt tehtav töö

A=\left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{P}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi.

Töö suurus \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi määratakse täielikult vektoritega \overrightarrow{BC} ja \overrightarrow{F}. See­tõttu nimetatakse korrutist \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi nende vektorite skalaar­korrutiseks ja tähistatakse sümboliga \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{F}. Seega:

A=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{F}.

Joon. 3.43

Vaatleme mis tahes kahe vektori \vec{a} ja \vec{b} skalaar­korrutist. Seega, olgu antud vektorid \vec{a} ja \vec{b} ning nende vektorite vaheline nurk φ, kus o° ≤ φ ≤ 180° (joon. 3.43). Siis

vektorite a→ ja b→ skalaar­korrutiseks a→·b→ nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorite­vahelise nurga koosinuse korrutist.

Sümboleis:

a→·b→=a→·b→·cos φ

ehk

\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\ \cos\varphi, kus a=\left|\vec{a}\right| ja b=\left|\vec{b}\right|.

Et o° ≤ φ ≤ 180°, siis cos φ võib olla nii positiivne (kui o° ≤ φ < 90°) kui ka negatiivne (kui 9o° < φ ≤ 180°). Järelikult ka vektorite skalaar­korrutis \vec{a}\cdot\vec{b} võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Skalaar­korrutis on 0, kui φ = 90° (või vähemalt üks vektoritest on null­vektor).

Näide 1.

Kui \left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8 ning nurk φ vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahel on 60°, siis

\vec{a}\cdot\vec{b} = 5\cdot8\cdot\cos60° = 40\cdot0,5 = 20.

Näide 2.

Kui \left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8 ja φ = 134°26', siis

\vec{a}\cdot\vec{b} = 5\cdot8\cdot\cos134°26' ≈ -28,0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Arvutage vektorite \vec{a} ja \vec{b} skalaar­korrutis.

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=6, φ = 60°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=1, \left|\vec{b}\right|=1, φ = 57°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=12, \left|\vec{b}\right|=5, φ = 143°48'
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=13, φ = 90°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

Arvutage vektorite \vec{a} ja \vec{b} skalaar­korrutis.

\left|\vec{a}\right|=4,2, \left|\vec{b}\right|=10, φ = 135°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=9, \left|\vec{b}\right|=2, φ = 89°12'
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=2, φ = 30°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=36, \left|\vec{b}\right|=0,1, φ = 180°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}\cdot\vec{b}, kui φ = 90°

Vastus. \vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}\cdot\vec{b}, kui \vec{a}=\left(0;\ 2\right) ja \vec{b}=\left(3;\ 0\right)

Vastus. \vec{a}\cdot\vec{b} = 

Seotud sisu
Muud tegevused