Järeldusi skalaar­korrutise definitsioonist

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Definitsioonist

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi

saab teha mõningaid järeldusi skalaar­korrutise väärtuse ning vektorite \vec{a} ja \vec{b} oma­vahelise asendi kohta.

Joon. 3.44

1. Kui vektorid \vec{a} ja \vec{b} (joon. 3.44) on sama­suunalised (s.t φ = 0°), siis nende vektorite skalaar­korrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega.

Tõe­poolest, siis φ = 0° ja cos φ = 1, mis­tõttu \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

Selle eri­juhuks on korrutis, kus ka \vec{b}=\vec{a}. Siis nimetatakse skalaar­korrutist \vec{a}\cdot\vec{a} vektori \vec{a} skalaar­ruuduks ning tähistatakse sümboliga \vec{a}^2. Leiame selle: \vec{a}\cdot\vec{a}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\cos0°=\left|\vec{a}\right|^2. Seega

vektori skalaar­ruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, s.o a→2=a→2.

Kui \vec{a}=\left(X;\ Y\right), siis \left|\vec{a}\right|=\sqrt{X^2+Y^2} ja \vec{a}^2=\left|\vec{a}\right|^2=X^2+Y^2.

Näide 1.

Kui \vec{a}=\left(-10,4;\ 7,8\right), siis \vec{a}^2=\left(-10,4\right)^2+7,8^2=169.

2. Kui vektorid \vec{a} ja \vec{b} on vastas­suunalised (s.t φ = 180°), siis nende vektorite skalaar­korrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastand­arvuga. Tõepoolest,

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos180° = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\left(-1\right) = -\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

3. Vektorite \vec{a}\ne\vec{0} ja \vec{b}\ne\vec{0} ristseisu tunnus:

kaks vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, s.t
​a→⊥b→⇔a→·b→=0.

Väljend siis ja ainult siis tähendab n-ö mõlemas suunas kehtivust:

  1. kui vektorid \vec{a} ja \vec{b} on risti, siis \vec{a}\cdot\vec{b}=0; sümboleis \vec{a}\perp\vec{b}\ \Rightarrow\ \vec{a}\cdot\vec{b}=0;
  2. kui \vec{a}\cdot\vec{b}=0, siis vektorid \vec{a} ja \vec{b} on risti; sümboleis \vec{a}\cdot\vec{b}=0\ \Rightarrow\ \vec{a}\perp\vec{b}.

Nende väidete õigsuses on kerge veenduda:

  1. kui \vec{a}\perp\vec{b}, siis φ = 90° ja \vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos90° = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot0 = 0.
  2. kui \vec{a}\cdot\vec{b}=0, siis \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi=0. Eelduse kohaselt \left|\vec{a}\right|\ne0 ja \left|\vec{b}\right|\ne0, järelikult \cos\varphi=0, millest \varphi=90°, s.t vektorid \vec{a} ja \vec{b} on risti.

Näide 2.

Leiame vektorite \vec{a}=\left(8;\ 0\right) ja \vec{b}=\left(0;\ 6\right) skalaar­korrutise.

Viies antud vektorite algus­punktid koordinaatide algus­punkti, asetseb vektor \vec{a} x-teljel ja vektor \vec{b} y-teljel. Järelikult on nurk \varphi=90°.

Et \left|\vec{a}\right|=\sqrt{8^2+0^2}=8 ja \left|\vec{b}\right|=\sqrt{0^2+6^2}=6, siis \vec{a}\cdot\vec{b} = 8\cdot6\cdot\cos90° = 48\cdot0 = 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Leidke vektorite skalaar­korrutis \vec{a}\cdot\vec{b}.

\left|\vec{a}\right|=3,5, \left|\vec{b}\right|=4, φ = 150°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=0,6, φ = 0°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=0,6, φ = 180°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=10, \left|\vec{b}\right|=2,8, φ = 60°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=\left(-3;\ 0\right), \vec{b}=\left(0;\ -7\right)
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{i}\cdot\vec{j} = 

\vec{j}\cdot\vec{i} = 

\vec{i}^2 = 

\vec{j}^2 = 

\left|\vec{a}\right|=8
\vec{a}^2 = 

\left|\vec{c}\right|=1,5
\vec{c}^2 = 

\vec{a}=\left(-3;\ 4\right)
\vec{a}^2 = 

\vec{a}=\left(-2;\ 7\right)
\vec{a}^2 = 

\vec{b}=\left(0;\ 9\right)
\vec{b}^2 = 

\vec{g}=\left(-4;\ 0\right)
\vec{g}^2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused