Vektorite skalaar­korrutise omadusi

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Arvude korrutamisel kehtib

  1. kommutatiivsuse seadus: ab = ba;
  2. assotsiatiivsuse seadus: a(bc) = (ab)c;
  3. distributiivsuse seadus: a(b + c) = ab + ac.

On võimalik näidata, et sama­laadsed omadused kehtivad ka vektorite skalaar­korrutise korral. Illustreerime neid omadusi vaid näidetega.

1. Skalaar­korrutis on kommutatiivne, s.t

a→·b→=b→·a→

Näide 1.

Artikli 10.12. näites 2 arvutasime vektorite \vec{a}=\left(8;\ 0\right) ja \vec{b}=\left(0;\ 6\right), kus φ = 90°, skalaar­korrutise ning saime, et \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Leiame nüüd skalaar­korrutise \vec{b}\cdot\vec{a} = \left|\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\cos90° = 6\cdot8\cdot0 = 0. Seega \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.

2. Skalaar­korrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes, s.t

k(a→·b→)=(ka→)·b→=a→·(kb→).

Näide 2.

Olgu k = 2, \left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=5 ja nurk vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahel φ = 60°.

Siis k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = 2\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = 2\cdot4\cdot5\cdot0,5 = 20.

Et \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk φ = 60°, siis k = 2 > 0 tõttu on ka vektorite k\vec{a} ja \vec{b} ning \vec{a} ja k\vec{b} vaheline nurk φ = 60°.

Järelikult

\left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b} = \left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = k\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = \left(2\cdot4\right)\cdot5\cdot0,5 = 20 ja

\vec{a}\cdot\left(k\vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|k\vec{b}\right|\cdot\cos60° = 4\cdot\left(2\cdot5\right)\cdot0,5 = 20.

3. Skalaar­korrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, s.t

a→·b→+c→=a→·b→+a→·c→.

Näide 3.

Leiame \vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), kui vektorid \vec{a} ja \vec{b} on risti ning \left|\vec{a}\right|=4.

Kasutades kõne­alust skalaar­korrutise omadust, saame kiiresti, et

\vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = \vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^2+0 = \left|\vec{a}\right|^2 = 4^2 = 16.

Näide 4.

Leiame \left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2.

Ees­pool sõnastatud omaduste alusel võime skalaar­ruudu \left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2 leidmisel avada sulud nagu algebra summa ruudu valemis. Seega

\left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2 = \vec{i}^2+2\cdot\vec{i}\cdot\vec{j}+\vec{j}^2 = \left|\vec{i}\right|^2+2\cdot\left|\vec{i}\right|\cdot\left|\vec{j}\right|\cdot\cos90°+\left|\vec{j}\right|^2 = 1^2+2\cdot1\cdot1\cdot0+1^2 = 2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Arvutage järgmised skalaar­korrutised, kui \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 ning nurk vektorite \vec{u} ja \vec{v} vahel on 60°.

\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) = 

\vec{u}\cdot\left(\vec{v}-\vec{v}\right) = 

\vec{u}^2+\vec{v}^2 = 

\vec{u}\cdot\left(2\vec{v}-\vec{v}\right) = 

Arvutage järgmised skalaar­korrutised, kui \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 ning nurk vektorite \vec{u} ja \vec{v} vahel on 60°.

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2 = 

3\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right) = 

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) = 

\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)^2 = 

\left(\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right) = 

\vec{j}\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right)+\vec{i}\cdot\left(\vec{j}-\vec{i}\right) = 

\left(2\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\vec{j}+\vec{i}\cdot\vec{j} = 

\left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2-\left(\vec{j}-\vec{i}\right)^2 = 

Leidke \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=3\vec{i} ja \vec{b}=-2\vec{j}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=-\vec{i} ja \vec{b}=7\vec{j}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=2\vec{i}+4\vec{j} ja \vec{b}=4\vec{j}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

Leidke \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=4\vec{i}-5\vec{j} ja \vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=-2\vec{i}+3\vec{j} ja \vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=6\vec{i}-9\vec{j} ja \vec{b}=\vec{0}
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

  • a→=3i→ jab→=-2j→
  • a→=4i→-5j→ jab→=-i→+2j→
  • a→=-i→ jab→=7j→
  • a→=-2i→+3j→ jab→=6i→+4j→
  • a→=2i→+4j→ jab→=4j→
  • a→=6i→-9j→ jab→=0→

Arvutage \left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right), kui vektorid \vec{a} ja \vec{b} on ühik­vektorid ning nurk \vec{a} ja \vec{b} vahel on 135°.

\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right) =  = 

Arvutage \left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), kui \left|\vec{a}\right|=1, \left|\vec{b}\right|=4 ning nurk vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahel on 57°19'.

\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) =  = 

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8, \vec{a}\cdot\vec{b}=20
φ = 

\left|\vec{p}\right|=12, \left|\vec{q}\right|=0,5, \vec{p}\cdot\vec{q}=3\sqrt{3}
φ = 

\left|\vec{u}\right|=1, \left|\vec{v}\right|=9, \vec{u}\cdot\vec{v}=-9
φ = 

\left|\vec{s}\right|=8, \left|\vec{t}\right|=4, \vec{s}\cdot\vec{t}=19,2
φ = 

Seotud sisu
Muud tegevused