Sirge sihi­vektor ja tõus

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge sihi­vektoriks. Järelikult on sirgel sihi­vektoreid lõpmatult palju ja nad erinevad oma­vahel pikkuselt või suunalt. Algebraliselt avaldub see selles, et kaks sihi­vektorit \vec{s_1} ja \vec{s_2} erinevad vaid arvulise kordaja poolest, s.t \vec{s_1}=r\vec{s_2}.

Sirge sihi­vektori leidmiseks piisab kahe punkti leidmisest vaadeldaval sirgel. Nende punktidega määratud vektor ongi sirge üks sihi­vektor.

Näide 1.

Eelmise artikli näites 2 antud punktid P(–7; 4) ja Q(–8; –1) määravad sirge y = 5x + 39, kuid ka selle sirge ühe sihi­vektori \vec{s}=\overrightarrow{PQ}=\left(-8+7;\ -1-4\right)=\left(-1;\ -5\right).

Leiame saadud sirgele veel teise sihi­vektori. Kui x = –6, siis sirge võrrandist y = 5x + 39 saame, et y = 9. Järelikult punkt A(–6; 9) asub sirgel. Leiame sirgel veel teise punkti: kui x = 0, siis y = 39 ja B(0; 39). Vastav sihi­vektor on \vec{s_1}=\overrightarrow{AB}=\left(6;\ 30\right) ja sihi­vektorite vaheline seos avaldub kujul \vec{s_1}=-6\vec{s}.

Tõe­poolest, -6\vec{s}=-6\cdot\left(-1;\ -5\right)=\left(6;\ 30\right)=\vec{s_1}.

Joon. 3.47

Kui kaks lõikuvat sirget s ja t ei ole risti, siis nende sirgete vaheliseks nurgaks loetakse tavaliselt terav­nurka α (joon. 3.47). Sirgete­vaheline nurk α on võrdne sirgete sihi­vektorite vahelise nurgaga, või kui see on nüri­nurk β, siis α = 180° – β.

Näide 2.

Sirge s läbib punkte A(–3; –3) ja B(2; –1) ning sirge t võrrand on y = 1,5x + 1,5. Leiame nurga sirgete vahel.

Leiame sirge s sihi­vektori: \vec{s}=\overrightarrow{AB}=\left(2-\left(-3\right);\ -1-\left(-3\right)\right)=\left(5;\ 2\right).

Sirge t korral leiame esmalt kaks punkti, mis asuvad sellel sirgel: kui x = 3, siis y = 6 ⇒ C(3; 6); kui x = –5, siis y = –6 ⇒ D(–5; –6).

Sirge t sihi­vektor \vec{t}=\overrightarrow{CD}=\left(-5-3;\ -6-6\right)=\left(-8;\ -12\right). Vektorite­vahelise nurga arvutame valemi \cos\varphi=\frac{\vec{s}\cdot\vec{t}}{\left|\vec{s}\right|\cdot\left|\vec{t}\right|} abil.

\cos\varphi = \frac{\left(5;\ 2\right)\cdot\left(-8;\ -12\right)}{\sqrt{5^2+2^2}\cdot\sqrt{\left(-8\right)^2+\left(-12\right)^2}} = \frac{-64}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{208}} ≈ -0,8240

Kuna cos φ < 0, siis saame nüri­nurga (joonisel 3.47 β). Seega β ≈ 145°29' ja sirgete­vaheline terav­nurk α ≈ 180° – 145°29' = 34°31'.

Sirge tõus. Joonisel 3.48 on kujutatud kaks sirget. Positiivset nurka α, mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel, nimetatakse sirge tõusu­nurgaks. See­juures 0° ≤ α < 180°.

Joon 3.48

Kui 0° < α < 90°, on sirge tõusev (joon. 3.48a), kui 90° < α < 180°, on sirge langev (joon. 3.48b).

Suurust tan α nimetatakse sirge tõusuks ja tähistatakse tähega k. Järelikult

sirge tõus k = tan α.

Kui 0° < α < 90°, on k = tan α > 0; kui 90° < α < 180°, on k = tan α < 0.​ Seega,

​tõusva sirge tõus on positiivne, ​langeva sirge tõus on negatiivne.

Näide 3.

Kui näiteks sirge tõusu­nurk α = 52°, siis sirge tõus k = tan 52° ≈ 1,28, kui aga α = 101°32', siis tõus k = tan 101°32' ≈ –4,90.

Rääkides maan­tee tõusust või langusest, trepi tõusust, katuse kaldest, mäe­nõlva tõusust või kaldest, teatri põranda kaldest jne, on ikka tegemist suurusega k = tan α, kus α on nurk horisontaali ja tõusva (langeva) tee, trepi, mäe, katuse, põranda jne vahel. Praktiliste küsimuste lahendamisel on 0° < α < 90° ja seega tõus k > 0.

Tõusu­nurk α asendatakse suurusega k = tan α põhiliselt see­tõttu, et nurka α ei ole alati kerge mõõtmise teel leida (näiteks trepi tõusu­nurka). Küll on aga lihtne mõõta kahte suurust a ja b, mille jagatis annabki tõusu k = tan α (näiteks trepi korral mõõdetakse astme kõrgus b ja astme laius a, joon. 2.13).

Joon. 2.13

Kui sirge on määratud (joon. 3.48) kahe punktiga A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis leiame tõusu valemiga k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. See­juures on üks­kõik, kumma punkti loeme esimeseks, kumma teiseks, sest tõusva sirge korral tulevad murru lugeja ja nimetaja sama­märgilised ning see­tõttu on k > 0. Langeva sirge korral on aga lugeja ja nimetaja eri­märgilised ning järelikult tuleb k < 0, nagu peabki olema.

Järelikult on sirge tõusu arvutamiseks kaks valemit:

k = tan α,    k=y2 - y1x2 - x1

kus α on sirge tõusu­nurk ning punktid (x1; y1) ja (x2; y2) asuvad vaadeldaval sirgel (joon. 3.48) või sellega paralleelsel sirgel.

Näide 4.

Kui sirge läbib punkte A(−1; 4) ja B(5; 8), on sirge tõus k=\frac{8-4}{5+1}=\frac{2}{3}.

Et k > 0, siis on sirge tõusev.

Näide 5.

Sirge võrrand on y = –2x + 4. Leiame sirge tõusu ja tõusu­nurga. Kas sirge on tõusev või langev?

Et kasutada äsja tuletatud valemit, leiame võrrandiga antud sirgel kaks punkti.

Kui näiteks x = 0, siis y = 4 ja x = 5 korral on y = −6. Punktid on seega A(0; 4) ja B(5; −6) ning

k=\frac{-6-4}{5-0}=-2.

Et tan α = –2, siis α ≈ 116°34'.

Vastus. k = –2, α ≈ 116°34', sirge on langev.Fxab

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

A(4; 2) ja B(3; 1)

Vastus. \vec{s} = 

R(–5; 4) ja T(5; –1)

Vastus. \vec{s} = 

M(0; 4) ja N(–3; 0)

Vastus. \vec{s} = 

P(–5; 5) ja Q(2; –2)

Vastus. \vec{s} = 

A(5; –7) ja B(4; –8)

Vastus. k = , α = .

S(0; 8) ja T(–4; 0)

Vastus. k = , α = .

K(2,8; –3) ja M(4; 3,6)

Vastus. k = , α = .

N(5; –2) ja M(–3; –2)

Vastus. k = , α = .

R(–1; 3) ja P(–1; 5)

Vastus. k = , α = .

E(–2; 6) ja F(6; –2)

Vastus. k = , α = .

  • A(5; –7) ja B(4; –8)
  • S(0; 8) ja T(–4; 0)
  • K(2,8; –3) ja M(4; 3,6)
  • N(5; –2) ja M(–3; –2)
  • R(–1; 3) ja P(–1; 5)
  • E(–2; 6) ja F(6; –2)
  • A(5; –7) ja B(4; –8)
  • S(0; 8) ja T(–4; 0)
  • K(2,8; –3) ja M(4; 3,6)
  • N(5; –2) ja M(–3; –2)
  • R(–1; 3) ja P(–1; 5)
  • E(–2; 6) ja F(6; –2)
Seotud sisu
Muud tegevused