Kahe punktiga määratud sirge

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Koordinaatide meetodiga seatakse tasandi igale punktile vastavusse arvu­paar. Selles pea­tükis vaatleme, mis vastab algebraliselt joonele tasandil. Alustame tuntumast joonest - sirgest.

Joon. 3.45

1. Sirge võrrand. Nagu ees­pool (artikkel 10.1, näide 7) põgusalt selgitasime, on mõne sirge korral lihtne mõista ja kirja panna sirge kõikide punktide ühist omadust. Kui näiteks sirge s1 on risti y-teljega ja lõikab seda kohal 5 (joon. 3.45), siis selle sirge punktide ühine omadus seisneb just selles, et sirge kõigi punktide ordinaat on 5, s.t y = 5. Viimast kirjutist nimetatakse selle sirge võrrandiks. Teisiti öeldes on sirge s1 kõik punktid esitatavad kujul M(x; 5). Selline omadus on vaid sirge s1 punktidel, väljas­pool seda sirget ei leidu punkte, mille teine koordinaat oleks 5.

Samal joonisel olev sirge s2 on koordinaat­tasandi II ja IV veerandi nurga­poolitaja. Selle sirge iga punkti kaugus x- ja y-teljest kui nurga haaradest on sama. See tähendab, et sirge iga punkti korral on \left|y\right|=\left|x\right|. Et II ja IV veerandis on iga punkti (näiteks punktide A ja B) koordinaadid erinevate märkidega, siis avaldub sirge s2 punktide ühine omadus võrdusena y = –x. See ongi sirge s2 võrrand.

Eelnev arutelu viib järeldusele, et sirge võrrand peab olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid või siis vähemalt ühte neist.

Igal sirgel on võrrand, ka sirgetel, mida tunneme kui x- ja y-telge. Neist x-telje võrrand on y = 0 ja y-telje võrrand on x = 0, sest sellised omadused on nende telgede punktidel.

Kui andmed sirge kohta on nii­sugused, et nende järgi saab koordinaat­tasandile joonestada (konstrueerida) vaid ühe sirge, siis nende andmete põhjal saab leida ka sirge võrrandi.

Edas­pidi vaatleme erinevate alg­andmetega määratud sirgeid ja koostame nende võrrandeid. Siin alustame juhuga, kus meil on juba kogemus, et sirge on üheselt määratud.

2. Kahe punktiga määratud sirge. Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge, järelikult peaksime saama koostada ka sirge võrrandi.

Näide 1.

Olgu antud punktid A(5; –8), B(–3; 0). Joonestame sirge (joon. 3.46a) läbi  nende punktide ja leiame selle sirge võrrandi.

Joon. 3.46a

Märgime sirgele suvalise punkti M(x; y) ja moodustame vektorid \overrightarrow{AB} (või \overrightarrow{BA}) ja \overrightarrow{AM} (või \overrightarrow{BM}):

\overrightarrow{AB}=\left(-3-5;\ 0+8\right)=\left(-8;\ 8\right),

\overrightarrow{AM}=\left(x-5;\ y+8\right).

Need vektorid on kollineaarsed. Järelikult

\frac{x-5}{-8}=\frac{y+8}{8}.

Olemegi saanud sirge AB võrrandi, millele anname aga lihtsama kuju:

8\left(x-5\right)=-8\left(y+8\right) ⇒ x-5=-y-8 ⇒ x+y+3=0

või avaldades ordinaadi y=-x-3.

Vastus. Sirge võrrand on x+y+3=0 ehk y=-x-3.

Kordame näites esitatud mõtte­käiku üld­juhul. Tuletame punktidega A(x1; y1) ja B(x2; y2) määratud sirge võrrandi (joon. 3.46b).

Joon. 3.46b

Olgu sirge mis tahes punkt M(x; y), mille märgime sirgel suvalisse kohta. Moodustame vektorid \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1\right) ja \overrightarrow{AM}=\left(x-x_1;\ y-y_1\right), mille kollineaarsusest saame võrrandi, mis on kahe punktiga määratud sirge võrrand:

x - x1x2 - x1=y - y1y2 - y1.

Suvalise punkti koordinaadid võrrandis on x ja y.

Sirge võrrand teisendatakse (vt näite 1 vastust) tavaliselt lihtsamale kujule, kus võrrandi kõik liikmed on viidud võrdus­märgist vasakule või siis avaldatakse muutuja y.

Näide 2.

Leiame punkte P(–7; 4) ja Q(–8; –1) läbiva sirge võrrandi ja kontrollime, kas punkt A(7; 72) asub sellel sirgel.

Teades kahe punktiga määratud sirge võrrandi üld­kuju, saame praegu võrrandi \frac{x+7}{-8+7}=\frac{y-4}{-1-4}, mis pärast lihtsustamist on kujul y = 5x + 39.

Kontrollime, kas punkti A koordinaadid rahuldavad saadud võrrandit: 72 ≠ 5 · 7 + 39. Ei rahulda. Järelikult punkt A(7; 72) ei asu sirgel y = 5x + 39.

Näide 3.

Sirge s1 võrrand on 3x – 4y + 5 = 0 ja sirge s2 võrrand on 2x + 3y – 8 = 0. Leiame sirgete lõike­punkti.

Olgu sirgete lõikepunkt A(x; y). Et punkt A asub nii sirgel s1 kui ka sirgel s2, siis tema koordinaadid sobivad nii sirge s1 kui ka sirge s2 võrrandisse. Järelikult tuleb punkti A koordinaatide leidmiseks lahendada võrrandi­süsteem

3x-4y+5=02x+3y-8=0.

Et saada ühe tundmatuga võrrand, korrutame esimest võrrandit 3-ga ja teist 4-ga. Tulemuseks saame võrrandi­süsteemi

9x-12y+15=08x+12y-32=0,

mille võrrandite liitmisel tekib võrrand 17x – 17 = 0, millest x = 1. Võrrandi­süsteemi esimesest või teisest võrrandist saame, et y = 2. Seega sirgete lõike­punkt on A(1; 2).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

A(4; 2) ja B(3; 1)

Vastus. y = 

R(–5; 4) ja T(5; –1)

Vastus.  = 0

M(0; 4) ja N(–3; 0)

Vastus.  = 0

P(–5; 5) ja Q(2; –2)

Vastus. y = 

Vastus. y = 

y = –3x + 7

2x + 3y – 29 = 0

8x + 5y + 6 = 0

y = 2,5x

  1. x-teljega;
    Vastus. 
  2. y-teljega.
    Vastus. 

Selle sirge võrrand on y = .

Millised antud punktidest on sellel sirgel? Märgi need.

  • G(1; 5)
  • H(4; −4)
  • K(0,9; 5,3)
  • L(3; 1)
  • M(10; −22)
  • N(−4; 18)

Vastus. Kolm­nurga tippude koordinaadid on , , . Külgede pikkused on , , .

Seotud sisu
Muud tegevused