Kahe sirge ühtimine ja paralleelsus

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Järgnevalt vaatleme, kuidas võrrandite järgi ära tunda, kas sirged ühtivad või on paralleelsed.

Joon. 3.52

Sirgete ühtimine.

1) Sirged y = k₁x + b₁ ja y = k₂x + b₂ ühtivad, kui

k₁ = k₂ ja b₁ = b₂

sest siis on nendel sirgetel samad tõusunurgad (tan α₁ = tan α₂ ⇒ α₁ = α₂) ja sirged lõikavad y-telge samas punktis (joon. 3.52).

2) Kui sirged on antud üldvõrranditega

A₁x + B₁y + C₁ = 0 ja A₂x + B₂y + C₂ = 0,

siis esitame võrrandid tõusu ja algordinaadi kaudu:

y=-\frac{A_1}{B_1}x-\frac{C_1}{B_1} ja y=-\frac{A_2}{B_2}x-\frac{C_2}{B_2}.Siit tõusude võrdsuse ja algordinaatide võrdsuse põhjal-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2} ja -\frac{C_1}{B_1}=-\frac{C_2}{B_2}ehk\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} ja \frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}, millest \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.Seega

kaks üldvõrrandiga antud sirget ühtivad, kui võrrandite kordajad on võrdelised,s.t kui

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

Näide 1.

Sirged 4x – 7y + 1 = 0 ja 16x – 28y + 4 = 0 on ühtivad, sest \frac{4}{16}=\frac{-7}{-28}=\frac{1}{4}.Sama tulemuse oleks saanud ka teisiti. Avaldades mõlema sirge üldvõrrandist muutuja y, saame mõlemal juhul sama võrrandi y=\frac{4}{7}x+\frac{1}{7}. Järelikult sirged ühtivad.

Joon. 3.53

Sirgete paralleelsus.1) Sirged y = k₁x + b₁ ja y = k₂x + b₂ on paralleelsed, kui

k₁ = k₂ ja b₁ ≠ b₂,

sest siis on nendel sirgetel samad tõusunurgad, kuid sirged lõikavad y-telge erinevates punktides (joon. 3.53).

2) Kui sirged on antud üldvõrranditegaA₁x + B₁y + C₁ = 0 ja A₂x + B₂y + C₂ = 0,siis tõusude võrdsusest -\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2} järeldub \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2},kuid seosest b_1\ne b_2 ehk -\frac{C_1}{B_1}\ne-\frac{C_2}{B_2} järeldub \frac{B_1}{B_2}\ne\frac{C_1}{C_2}.Kokku võttes,

kaks üldvõrrandiga antud sirget on paralleelsed, kui

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \neq \frac{C_{1}}{C_{2}}

Näide 2.

Sirged 3x + 4y – 5 = 0 ja 6x + 8y + 1 = 0 on paralleelsed, kuid mitte ühtivad, sest \frac{3}{6}=\frac{4}{8}\ne\frac{-5}{1}.Sama tulemuse oleksime saanud ka nii, et esitame antud võrrandid kujul y = –0,75x + 1,25 ja y = –0,75x – 0,125. Et tõusud on võrdsed, k₁ = k₂ = –0,75, kuid algordinaadid on erinevad, b₁ = 1,25 ja b₂ = –0,125, siis sirged on paralleelsed.

Näide 3. Leiame võrrandi sirgele, mis on paralleelne sirgega 3x + 4y – 5 = 0 ja läbib punkti A(–8; 4).Antud sirge tõus k = –0,75. Sama tõus on siis ka otsitaval sirgel. Otsitav sirge, nüüd määratud tõusu ja punktiga, on y – 4 = –0,75(x + 8) ehk y = –0,75x – 2.

Seotud sisu

Ülesanded

$x + 2 y - 1 = 0$ ja $2 x + 4 y + 3 = 0$
$x - 2 y + 3 = 0$ ja $- 3 x + 6 y - 9 = 0$
$4 y - 2 x + 2 = 0$ ja $y = 0,5 x - 0,5$
$3 x + 5 y - 9 = 0$ ja $10 x - 6 y + 1 = 0$
$x + y + 2 = 0$ ja $2 x + 5 y - 3 = 0$
$x + 1 = 0$ ja $x + 2 y = 0$
$3 y - 4 = 0$ ja $4 y + 9 = 0$
$x + 2 = 0$ ja $y - 1 = 0$
$x - 2 y + 5 = 0$ ja $2 x + y = 7$
$y = 2 x$ ja $y = - 4 x + 3$

$x + 2 y - 1 = 0$ ja $2 x + 4 y + 3 = 0$
$x - 2 y + 3 = 0$ ja $- 3 x + 6 y - 9 = 0$
$4 y - 2 x + 2 = 0$ ja $y = 0,5 x - 0,5$
$3 x + 5 y - 9 = 0$ ja $10 x - 6 y + 1 = 0$
$x + y + 2 = 0$ ja $2 x + 5 y - 3 = 0$
$x + 1 = 0$ ja $x + 2 y = 0$
$3 y - 4 = 0$ ja $4 y + 9 = 0$
$x + 2 = 0$ ja $y - 1 = 0$
$x - 2 y + 5 = 0$ ja $2 x + y = 7$
$y = 2 x$ ja $y = - 4 x + 3$

Vastus. B = .

y = 1,4x – 3
y = –1,4x – 2
5x – 7y + 7 = 0

$y = \frac{7}{5} x + 3$
$y = - \frac{7}{5} x + 2$
5x – 7y + 15 = 0

y = 2x – 4, A(3; 5)

Vastus.

5x – 3y + 9 = 0, B(0; 4)

Vastus.

y = –5x, C(1; –7)

Vastus.

x + y – 1 = 0, O(0; 0)

Vastus.

y = –8, D(2; –3)

Vastus.

3x – 7 = 0, E(2; 0)

Vastus.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kahe sirge ühtimine ja paralleelsus

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid