Ring­joone võrrand

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”
Joon. 3.55

Koordinaat­tasandil on ring­joone kesk­punkt A(a; b) ja ring­joone raadius r. Nende andmetega on ring­joon üheselt määratud (joon. 3.55). Kui ring­joone mis tahes punkt on M(x; y), siis selle punkti suvalise paiknemise korral ring­joonel on ikka AM = r. Koordinaatides avaldub see võrdus kujul

\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=r

ehk

\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2.

Ring­joone võrrand on seega

(x-a)2+(y-b)2=r2

Näide 1.

Kui ring­joone kesk­punkt on A(6; −1) ja r = 3, siis ring­joone võrrand on

(x – 6)2 + (y + 1)2 = 9.

Näide 2.

Kontrollime, kas punktid U(10; –1) ja V(5; –3) asuvad eelmises näites saadud ring­joonel.

Punkti U korral (10 – 6)2 + (–1 + 1)2 = 16 ≠ 9, siis punkt U ei asu sellel ring­joonel. Samuti ei asu ring­joonel punkt V, sest (5 – 6)2 + (–3 + 1)2 = 5 ≠ 9.

Teeme veel kindlaks, kus asuvad punktid U ja V ring­joone suhtes. Et

UA = \sqrt{\left(10-6\right)^2+\left(-1+1\right)^2} = \sqrt{16} = 4 > r=3,

siis punkt U asub väljas­pool ring­joont.

Analoogiliselt saame, et VA=\sqrt{5}<r=3. Järelikult punkt V asub sees­pool ring­joont.

Kui ring­joone kesk­punkt on koordinaatide algus­punktis, saab ring­joone võrrand kuju

x2+y2=r2,

sest a = 0 ja b = 0.

Näide 3.

Kui ring­joone kesk­punkt on koordinaatide algus­punktis ja ring­joone raadius r = 4, siis ring­joone võrrand on x2 + y2 = 16.

Näide 4.

Ring­joone puutujaks on x-telg punktis C(−3; 0) ja ring­joone kesk­punkti läbib sirge y = –x. Leiame ring­joone võrrandi.

Et sirge y = –x on koordinaat­teljestiku II ja IV veerandi nurga­poolitaja, siis ring­joone puutujaks on ka y-telg (joon. 3.56).

Puute­punkti C joonestatud raadius on risti puutujaga, s.o x-teljega. Seega a = –3.

Et punkt A asub sirgel y = −x, siis b = –(–3) = 3.

Raadius r = AC = 3 ning otsitav võrrand on (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9.

Joon. 3.56

Näide 5.

Leiame ring­joone (x – 4)2 + (y + 3)2 = 25 puutuja, mis läbib punkti P(1; 1).

Ring­joone võrrandist leiame, et ring­joone kesk­punkt on A(4; −3).

Punkt P asub ring­joonel, sest tema koordinaadid rahuldavad ring­joone võrrandit.

Et ring­joone raadius (AP joonisel 3.57) on risti puutujaga t, siis sirge AP on risti sirgega t.

Sirge AP tõus

k_1=\frac{1+3}{1-4}=-\frac{4}{3}.

Joon. 3.57

Järelikult on sirge t tõus

k_2=-\frac{1}{k_1}=0,75.

Sirge t võrrand on

y – 1 = 0,75(x – 1) ehk y = 0,75x + 0,25.

Vastus. Puutuja võrrand on y = 0,75x + 0,25.

Kahe joone lõike­punkti leidmiseks tuleb teatavasti lahendada vastavatest võrranditest koosnev süsteem, sest joonte lõike­punkt asub korraga mõlemal joonel.

Näide 6.

Leiame sirge 3x – 4y + 9 = 0 ja ring­joone (x – 5)2 + (y – 6)2 = 100 lõike­punktid.

Lahendame võrrandi­süsteemi

3x-4y+9=0(x-5)2+(y-6)2=100.

Avaldame esimesest võrrandist muutuja x ja asetame tema avaldise teise võrrandisse. Lihtsustame saadud võrrandit. Tulemusena saame võrrandi y2 – 12y = 0, millest y1 = 0 ja y2 = 12. Arvutame x väärtused: x1 = –3 ja x2 = 13. Järelikult on lõike­punkte kaks: (−3; 0) ja (13; 12).

Vastus. Sirge ja ring­joon lõikuvad punktides (−3; 0) ja (13; 12).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

A(4; –4) ja r = 1

Vastus. 

B(0; –1) ja r = 2,5

Vastus. 

C(9; 0) ja r = 0,8

Vastus. 

E(0,4; 0,25) ja r = 20

Vastus. 

O(0; 0) ja r = 9

Vastus. 

O(0; 0) ja r = \sqrt{7}

Vastus. 

D(–5; 6) ja r = 5

Vastus. 

F(0; 8) ja r = 1

Vastus. 

Ringjoone võrrand

Keskpunkt

Raadius

(x –10)2 + (y – 2)2 = 25

(x – 3)2 + (y – 3)2 = 4

(x – 2,8)2 + (y + 1)2 = –9

Ringjoone võrrand

Keskpunkt

Raadius

x2 + (y – 6)2 = 1

(x – 15)2 + y2 = 7

x2 + y2 = 1,21

A(0; –7) ja B(0; 5)

Vastus. 

M(–4; 1) ja N(2; 4)

Vastus. 

Vastus. 

Vastus. 

  1. A(−6; 8);

    Vastus. 
  2. B(8; −6).

    Vastus. 

x2 + y2 = 16   ja   y = 2x – 10

Vastus. Antud joonte lõike­punktid .

(x – 12)2 + (y + 7)2 = 40   ja   x – y – 11 = 0

Vastus. Antud joonte lõike­punktid .

x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0   ja   y = x + 1

Vastus. Antud joonte lõike­punktid .

(x + 10)2 + (y – 8)2 = 100
ja
(x – 6)2 + (y + 7)2 = 25

Vastus. Nendele ring­joontele vastavad ringid .

Seotud sisu
Muud tegevused