Joone võrrand

Kursus „Vektor tasandil. Joone võrrand”

Nagu teame, vastab igale sirgele esimese astme ehk lineaarne võrrand Ax + By + C = 0, kus vähemalt A ≠ 0 või B ≠ 0. Ringjoonele vastab aga alati teise astme võrrand (x – a)² + (y – b)² = r². Teise astme võrrandiks loetakse võrrandit, kus muutuja x või y või mõlemate kõrgeim aste on kaks või esineb võrrandis liige xy. Järelikult on ka parabooli võrrand y = ax² + bx + c teise astme võrrand. Samuti on teise astme võrrand pöördvõrdelise sõltuvuse y=\frac{a}{x} graafiku ehk hüperbooli võrrand, sest seda saab kirjutada kujul xy – a = 0.Igale joonele tasandil vastab alati mingi võrrand. See sisaldab üldiselt kahte muutujat − joone mis tahes punkti koordinaate x ja y. Joonele vastavat võrrandit rahuldavad selle ja ainult selle joone punktide koordinaadid.Iga suvaliselt kirjutatud võrrand ei pruugi aga joont esitada. Näiteks võrrand 5x⁴ + 2x² + 7 = 0 ei esita joont, sest kahe mittenegatiivse ja ühe positiivse arvu summa ei saa kunagi olla null. Järelikult ei leidu ühtegi punkti, mille koordinaadid rahuldaksid seda (vastuolulist) võrrandit.Lühidalt:

joone võrrand on kahe muutujaga võrrand, mida rahuldavad antud joone iga punkti koordinaadid ja ainult need.

Kui hakkame mingi joone võrrandit tuletama, siis peame teadma selle joone olulisi omadusi, mis selle joone määravad. Teisiti öeldes, peame teadma vaadeldava joone definitsiooni. Kui definitsioon panna kirja võrdusena joone mis tahes punkti koordinaatide kohta, saamegi joone võrrandi.

Näide 1. Tuletame joone võrrandi, kui joone iga punkti kaugus punktist A(0; 0) on kaks korda suurem kui punktist B(6; 0).

Olgu otsitava joone mis tahes punkt P(x; y). Siis (joon. 3.58) joone kirjelduse (definitsiooni) põhjal AP = 2 ⋅ BP ehk koordinaatides(kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit)\sqrt{x^2+y^2}=2\cdot\sqrt{\left(x-6\right)^2+y^2}.

Joon. 3.58

Tõstes võrrandi mõlemad pooled ruutu, avades sulud ning lihtsustades, saame x² – 16x + y² + 48 = 0, millest omakorda (x – 8)² – 64 + y² + 48 = 0 ja lõpuks (x – 8)² +y² = 16. Nüüd tunneme ära, et tegemist on ringjoonega, mille keskpunkt on (8; 0) ja raadius r = 4.

Näide 2. Leiame võrrandi joonele, mille iga punkti kaugus sirgest y = –1 ja punktist F(0; 1) on sama.

Olgu joone suvaline punkt P(x; y).Vastavalt definitsioonile peab P₁P = FP (joon. 3.59). Et PP₁ on risti x-teljega ja sirgega y = –1, siis on punkti P₁ koordinaadid x ja –1 ehk lühemalt P₁(x; –1).Võrdus P₁P = FP esitub koordinaatides kujul \sqrt{\left(x-x\right)^2+\left(y+1\right)^2}=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2} ehk \left(y+1\right)^2=x^2+\left(y-1\right)^2, millest y = 0,25x².

Joon. 3.59

Näites saadud võrrand esitab sama parabooli, mis on funktsiooni y = ax² graafikuks, kui a = 0,25. Seega võime näite alguses antud joone kirjeldust vaadata kui parabooli kirjeldust. Seejuures nimetatakse punkti F parabooli fookuseks.Varasemast teame, et ruutfunktsiooni üldine kuju on y = ax² + bx + c ja selle graafikuks on parabool, mis avaneb ülespoole (kui a > 0) või allapoole (kui a < 0). Parabooli haripunkti (tipu) abstsiss leitakse valemiga x_0=-\frac{b}{2a}, ordinaat y₀ aga seejärel seosest y = ax² + bx + c.Võime ka öelda, et võrrand y = ax² + bx + c määrab joone, milleks on eespool loetletud omadustega joon – parabool.

Näide 3. Leiame sirge x – y – 4 = 0 ja parabooli y = x² – 4 lõikepunktid (joon. 3.60).

Selleks tuleb lahendada võrrandisüsteem

\{\begin{cases} x - y - 4 = 0 \\ y = x^{2} - 4 . \end{cases}

Asendades esimesse võrrandisse muutuja y avaldise, leiame ruutvõrrandist x² – x = 0, et x₁ = 0, x₂ = 1.

Leides ka vastavad y väärtused y₁ = –4 ja y₂ = –3, saame antud joonte lõikepunktideks A(0; –4) ja B(1; –3).

Joon. 3.60

Seotud sisu