Иррациональные выражения

Точно так же, как действительные числа подразделяются на рациональные и иррациональные числа, алгебраические выражения бывают рациональными и иррациональными. Иррациональными являются все выражения, содержащие операцию извлечения корня или операцию возведения в рациональную степень, не являющуюся целым числом. В предыдущих параграфах мы рассматривали иррациональные числовые выражения. Познакомимся теперь с иррациональными выражениями, содержащими переменные, и с приемами упрощения таких выражений.

При преобразовании иррациональных выражений с переменными остается справедливым все, что связано с преобразованиями рациональных выражений. Точно так же остается в силе все, что касается возведения в степень и извлечения корня. Существенным отличием в случае иррациональных выражений является лишь то, что без всякого специального упоминания обычно подразумевается, что переменные в выражении могут принимать только такие значения, при которых все подкоренные выражения (или выражения в дробной степени) и соответствующие значения корней или степеней неотрицательны. Таким образом, если не сделано специальных уточнений, то мы пока не будем писать

$$ \sqrt{a^{2}y}=\left|a\right|\sqrt{y}$$  и  $$ \sqrt[4]{{\left(x-2\right)}^4}=\left|x-2\right|$$,

а будем писать

$$ \sqrt{a^{2}y}=a\sqrt{y}$$  и  $$ \sqrt[4]{{\left(x-2\right)}^4}=x-2$$.