Векторы

Рис. 6.16

Каждая прямая обладает некоторым направлением, или, как говорят иначе, определяет некоторое направление. Так, например, на изображенной на рисунке 6.16 карте Эстонии прямая s₄ определяет направление «север-юг» (или «юг-север», т. е. направление географического меридиана) в Пайде и в любом другом месте, через которое она проходит. Аналогично и прямая s1 определяет направление «север-юг» в Курессааре, s₂ – в Хаапсалу и т. д. Значит, все параллельные прямые (s₁, s₂, ..., s₈) определяют одно и то же направление «север-юг». В то же время, параллельные прямые t₁, t₂, t₃, t₄, t₅, t₆ определяют направление с северо-запада на юго-восток, и наоборот. Таким образом,

всякая прямая определяет направление, и параллельные прямые имеют одно и то же направление.

Ясно, что всякий отрезок имеет направление, точнее, направление прямой, на которой расположен этот отрезок. Расположенные на параллельных прямых отрезки имеют одно направление.

Однако в математике и ее приложениях более важное значение, чем просто направление, имеют ориентированные направления, которые в русской математической традиции и называются обычно направлениями. Например, числовая ось ориентирована в положительном направлении, всякий луч (полупрямая) определяет ориентированное направление, исходящее из его начала, движение по прямой происходит по направлению от пункта отправления к пункту назначения и т. д. Определив для отрезка ориентацию, т. е. указав, какая точка считается его началом, а какая – концом, мы приходим к понятию вектора. Таким образом,

отрезок прямой, для которого указано, какая из двух ограничивающих его точек является началом, а какая – концом, называется вектором.

Вектор характеризуется своим направлением (от начала к концу) и длиной.

Вектор содержит больше информации, чем прямая (имеющая лишь направление без ориентации) или отрезок (имеющий длину и неориентированное направление). Например, прямая, проходящая через города Таллинн и Тарту, может обозначать маршрут, по которому летают самолеты. Отрезок, соединяющий эти города, позволяет вычислить длину полета. Однако лишь вектор, соединяющий эти города, показывает, в какую сторону летит самолет (из Таллинна в Тарту или обратно).

Рис. 6.17

Вектор обозначают либо одной маленькой буквой со стрелкой над ней (например, \vec{a}, \vec{m}, \vec{x}), либо двумя большими буквами, соответствующими его начальной и конечной точкам. При этом над буквами также помещают стрелку (например, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{MN}) и на первом месте записывается начало (называемое также точкой приложения), а на втором – конец. На рисунке 6.17 изображен вектор \overrightarrow{AB}, или \vec{a}. Векторы служат для характеристики таких величин, у которых, кроме численного значения, нужно знать и направление. Подобные величины называются векторными. Примерами таких величин являются сила (ее величина и направление, в котором она приложена), скорость (какова эта скорость и в какую сторону направлена) и т. д.

Величины, которые можно охарактеризовать одним только числом, например, возраст, цена товара, температура, называются скалярными величинами, или скалярами.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. векторов обозначается символом \parallel. На рисунке 6.18 изображены три коллинеарных вектора:\vec{a}\ \parallel\ \vec{b}\ \parallel\ \vec{c}.

Рис. 6.18

Коллинеарные векторы могут быть либо (векторы \vec{a} и \vec{c} на рисунке 6.18), либо противоположно направленными (на рисунке векторы \vec{a} и \vec{b}, а также \vec{b} и \vec{c}). В случае сонаправленных векторов пишут \vec{a}\ \uparrow\uparrow\ \vec{c}, в случае противоположно направленных \vec{a}\ \uparrow\downarrow\ \vec{b}.

Векторы называются равными, если они сонаправлены, и их длины равны.

На рисунке 6.18 векторы \vec{a} и \vec{c} равны между собой, что обозначается как \vec{a}=\vec{c}.Отметим, что в математике при определении равенства векторов считается несущественным, какие точки являются началами, или, как говорят, точками приложения этих векторов. Точки приложения могут быть различными у равных векторов. В этом состоит отличие математических векторов от векторных величин в физике (где, например, при рассмотрении силы или скорости всегда нужно указать точку их приложения). Векторы, изучаемые в математике, называют свободными векторами.

Иногда при определении равенства векторов требуют, чтобы эти векторы располагались на одной и той же прямой, имея равные длины и одинаковую ориентацию. В этом случае говорят о скользящих векторах. При этом начало вектора может скользить вдоль прямой, причем считается, что вектор при этом не изменяется. Такова, например, ситуация, изображенная на рисунке 6.19, когда для того, чтобы везти санки, несущественно, в какой точке определенным образом натянутой веревки мы приложим требуемую силу. В то же время, если приложить эту силу \overrightarrow{F} (как свободный вектор) к спинке санок, то их движение будет происходить не так, как в случае приложения силы в точках A или B.

Рис. 6.19

Наконец, как отмечалось, физические величины характеризуются вполне определенной точкой приложения. В этом случае при определении равенства векторов требуют, чтобы у векторов совпадали не только длина и направление, но и точки приложения. В таком случае говорят о связанных векторах. Так, один и тот же груз, подвешенный к резиновой ленте, растягивает ее по-разному в зависимости от того, к какой точке он прикреплен (например, к концу ленты или к ее середине).В школьной математике мы будем рассматривать только свободные векторы.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 895. Коллинеарные векторы

Сонаправлены

векторы $\vec{a}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{c}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{e}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

Противоположно направлены

векторы $\vec{a}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{c}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{e}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{u}$
$\vec{r}$
$\vec{v}$

Рис 6.20

Задание 896. Равные векторы

Равны между собой

векторы $\vec{a}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{r}$
$\vec{u}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{c}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{r}$
$\vec{u}$
$\vec{v}$

векторы $\vec{e}$ и

$\vec{k}$
$\vec{b}$
$\vec{f}$
$\vec{r}$
$\vec{u}$
$\vec{v}$

Задание 897. Прямоугольник

Ответ: из сторон прямоугольника можно образовать векторов.

Какие из этих векторов являются:

сонаправленными вектору \overrightarrow{AB}?
Ответ: сонаправленным вектору \overrightarrow{AB} является вектор.
направленными противоположно вектору \overrightarrow{AB}?
Ответ: направленным противоположно вектору \overrightarrow{AB} является вектор.
равными вектору \overrightarrow{AB}?
Ответ: равным вектору\overrightarrow{AB} является вектор .

Задание 898. Ромб

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Векторы

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 895. Коллинеарные векторы

Задание 896. Равные векторы

Задание 897. Прямоугольник

Задание 898. Ромб

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid