Сложение векторов

Посмотрим на рисунок 6.17 с несколько другой точки зрения, чем раньше. Пусть даны точка A и вектор \vec{a}. Представим себе, что точка A переносится, или смещается, в направлении, определенном вектором \vec{a}, на расстояние, равное длине этого вектора. В результате точка A переместится в точку B, которую мы в этом случае будем считать образом точки A. Вектор \vec{a}, определяющий описанное перемещение, называется вектором параллельного переноса.

Если все точки некоторой фигуры смещают на один и тот же вектор, т. е. переносят в направлении и на расстояние, определенное этим вектором, то говорят, что выполнен параллельный перенос фигуры. В результате параллельного переноса получается образ исходной фигуры – равная ей, или, говоря точнее, конгруэнтная ей новая фигура.

На рисунке 6.21 изображен параллельный перенос треугольника ABC, определенный вектором \vec{a}. Результатом этого переноса является образ треугольника ABC, т. е. треугольник A'B'C'. Для получения образа треугольника достаточно найти образы его вершин A, B и C и соединить отрезками полученные точки. Треугольник ABC и его образ – треугольник A', B', C' – конгруэнтны, что записывается в виде: ΔABC ≅ ΔA'B'C'.

На рисунке 6.22 изображен параллельный перенос точки A с помощью вектора \vec{v}, результатом которого является точка A'. Подвергнем теперь полученную точку A' параллельному переносу на вектор \vec{u}, в результате чего мы получим новую точку A'' (образ точки A'). Тот же результат получится, если сразу подвергнуть исходную точку А параллельному переносу на вектор \vec{w}. Мы также видим, что векторы \vec{v} и \vec{u} двух последовательных переносов и заменяющий эти переносы вектор параллельного переноса \vec{w} образуют треугольник. При этом вектор \vec{w} является вектором, идущим из начала А в конец A'' ломаной AA'A'', образованной векторами \vec{v} и \vec{u}.

Правило треугольника применимо к произвольным слагаемым (в том числе, и коллинеарным). Пусть, к примеру, требуется сложить коллинеарные, но противоположно направленные векторы \vec{a} и \vec{b}. Следуя правилу треугольника (рис. 6.23), поместим начало вектора \vec{b} в конец вектора \vec{a}=\overrightarrow{AB}, тогда вектором \vec{b} будет вектор \overrightarrow{BC} . Получаем ломаную АВС (звенья которой лежат на одной прямой), при этом вектор \overrightarrow{AC}=\vec{c}, идущий от начала к концу этой ломаной, и является искомой суммой, т. е. \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}, или \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

На рисунке 6.24 по правилу треугольника (треугольник ABC) сложены векторы \vec{a} и \vec{b}, в результате чего получен вектор \vec{c}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. Приложим теперь начало вектора \vec{b} в точку А и получим вектор \overrightarrow{AD}=\vec{b} \left(AD\ \parallel\ BC\right), а начало вектора \vec{a} – к новому концу D вектора \vec{b}, и получим вектор \overrightarrow{DC}=\vec{a} \left(DC\ \parallel\ AB\right). Применив еще раз правило треугольника (треугольник ADC), получим, что \vec{b}+\vec{a}=\vec{c}. Так как \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} и \vec{b}+\vec{a}=\vec{c}, то

Для нахождения слагаемых векторов построим параллелограмм ADBE, диагональю которого является вектор \overrightarrow{AB} (рис. 6.25). Искомыми векторами являются \overrightarrow{AD} и \overrightarrow{AE}. Для проверки сложим найденные векторы и получим как раз вектор \vec{c}=\overrightarrow{AB}. Следовательно, \vec{c}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}. Представление заданного вектора в виде суммы двух векторов с заданными направлениями называется разложением вектора на составляющие (или компоненты). На рисунке 6.25 вектор \vec{c}=\overrightarrow{AB} разложен на две составляющие \overrightarrow{AD} и \overrightarrow{AE}.

Аналогично можно найти неизвестное слагаемое – вектор \vec{b}, зная сумму \vec{c}и слагаемое \vec{a} (рис. 6.26). Для этого построим параллелограмм, тремя последовательными вершинами которого являются A, D и B. Вектор \vec{b}=\overrightarrow{AE} и будет искомым.

Это свойство легко усматривается на рисунке 6.28, где, с одной стороны, \overrightarrow{AB}=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c} ​а с другой стороны, ​\overrightarrow{AB}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right).