Вычитание векторов

Если вектор \overrightarrow{AB} (рис. 6.32) обозначен символом \vec{a}, то противоположный ему вектор \overrightarrow{BA} обозначается -\vec{a}. Поэтому символы \overrightarrow{BA} и -\overrightarrow{AB} – обозначают один и тот же вектор – вектор, противоположный вектору \overrightarrow{AB}.

Сложив противоположные векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{BA} по правилу треугольника (рис. 6.32), получим, что начало А вектора \overrightarrow{AB} и конец А вектора \overrightarrow{BA} совпадают. Поэтому суммой будет вектор \overrightarrow{AA}, вырождающийся в точку. Поскольку суммой двух векторов должен быть вектор, то вводится понятие такого вектора, начало и конец которого совпадают; длина такого вектора равна нулю.

Таким образом (рис. 6.32), \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}, или \vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}.

Нулевой вектор не имеет определенного направления, поэтому будем считать, что он сонаправлен любому вектору.

Имеет место равенство:

В самом деле, левую часть равенства можно рассматривать как сумму \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB} (рис. 6.32), а эта сумма равна вектору \overrightarrow{AB}, т. е. \vec{a}.

Разностью \vec{c}-\vec{a}векторов \vec{c} и \vec{a} называется такой вектор \vec{x}, который в сумме с вектором \vec{a} дает вектор \vec{c}. Таким образом, \vec{x}=\vec{c}-\vec{a} означает, что \vec{a}+\vec{x}=\vec{c}.

Значит

Таким образом, чтобы найти разность \vec{c}-\vec{a}, нужно найти вектор -\vec{a}, а затем сумму \vec{c}+\left(-\vec{a}\right) или сумму \left(-\vec{a}\right)+\vec{c}.