Умножение вектора на число

Рис. 6.36

На рисунке 6.36 задан вектор \vec{a} и затем найден вектор \vec{a}+\vec{a}+\vec{a}. В результате получается вектор \overrightarrow{AD}, т. е. \overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}. Это можно записать короче: \overrightarrow{AD}=3\vec{a}. На рисунке видно, что вектор \overrightarrow{AD}=3\vec{a}, имеет то же направление, что и вектор \vec{a}, но длина его в 3 раза больше. Обозначив длину вектора \vec{a} через \left|\vec{a}\right| (иногда эту длину обозначают просто буквой a), можем записать, что \left|\overrightarrow{AD}\right|=3\left|\vec{a}\right|.

Если k > 0, то под произведением k\vec{a} понимают вектор, который сонаправлен вектору \vec{a}, и длина которого равна произведению длины вектора \vec{a} на число k, т. е.

\left|k\vec{a}\right|=k\cdot\left|\vec{a}\right|.

Однако что понимать под произведением k\vec{a}, если k < 0? Пусть, например, k = –2. Тогда в произведении -2\vec{a} разумно понимать знак «–» как обозначение вектора, противоположного вектору 2\vec{a}. На рисунке 6.36 сначала найден вектор 2\vec{a}=\overrightarrow{MP}, а затем противоположный ему вектор \overrightarrow{PM}=-2\vec{a}. Таким образом, векторы -2\vec{a} и \vec{a} коллинеарны, но имеют противоположные направления, причем длина вектора -2\vec{a} равна: \left|-2\vec{a}\right|=\left|-2\right|\cdot\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{a}\right|.

Итак, если k < 0, то под произведением k\vec{a} понимают вектор, который противоположно направлен вектору \vec{a}, и длина которого равна \left|k\right|\cdot\left|\vec{a}\right|, т. е.

\left|k\vec{a}\right|=\left|k\right|\cdot\left|\vec{a}\right|.

В случае, когда k = 0, произведением k\vec{a} естественно считать нулевой вектор, так как

\left|k\vec{a}\right|=0\cdot\left|\vec{a}\right|=0.

Таким образом, мы можем дать следующее определение:

произведением вектора a→ на действительное число k называется вектор ka→, коллинеарный вектору a→, имеющий длину ka→=k·a→ и такой, что ka→↑↑a→, если k > 0; ka→↑↓a→, если k < 0 и ka→=0→, если k = 0.

Так как вектор -1\cdot\vec{a} имеет направление, противоположное направлению вектора \vec{a} и \left|-1\vec{a}\right|=\left|\vec{a}\right|, то вектор -1\cdot\vec{a} есть не что иное, как вектор, противоположный вектору \vec{a}, т. е.

-1·a→=-a→.

Опираясь на определение произведения вектора на число, можно показать, что произведение обладает следующими свойствами:

1) умножение вектора на число ассоциативно:
​(km)a→=kma→,

2) умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
​(k+m)a→=ka→+ma→,

3) умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:
​ka→+b→=ka→+kb→.

Пример 1.

Выразим вектор \vec{u}=2\vec{p}-3\left(\vec{p}+\vec{q}\right)-5\vec{q} через вектор \vec{a}, если \vec{p}=3\vec{a} и \vec{q}=-2\vec{a}.

Решение. Пользуясь записанными выше свойствами, упростим выражение вектора \vec{u}:

\vec{u} = 2\vec{p}-3\vec{p}-3\vec{q}-5\vec{q} = -\vec{p}-8\vec{q}.

Подставим векторы \vec{p} и \vec{q}, выраженные через вектор \vec{a}:

\vec{u} = -\left(3\vec{a}\right)-8\left(-2\vec{a}\right) = -3\vec{a}+16\vec{a} = 13\vec{a}.

Значит, \vec{u}=13\vec{a}.

Пример 2.

Даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Построим вектор \vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}.

Решение. Отложим векторы \vec{a} и \vec{b} ühisesse от общего начала A (рис. 6.37). Построим векторы \overrightarrow{AB}=2\vec{a} и \overrightarrow{AC}=-3\vec{b} и сложим их.

В результате получим вектор \overrightarrow{AD}=\vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}.

Рис. 6.37

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором.

Таким образом, вектор \vec{a} является единичным вектором, если \left|\vec{a}\right|=1. Очень часто при изображении прямоугольной системы координат на осях Ох и Оу вместо единичных отрезков отмечают единичные векторы этих осей. Эти векторы обозначают соответственно символами \vec{i} и \vec{j}.

Пример 3.

Построим на координатной плоскости вектор \vec{a}=-3\vec{i}+2\vec{j} (рис. 6.38).

Решение. Построим на оси Оx вектор \overrightarrow{OA}=-3\vec{i}. На оси Оу построим вектор \overrightarrow{OB}=2\vec{j}.

Сложив векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}, получим искомый вектор \vec{a}.

Рис. 6.38

Пример 4.

Разложим заданный на координатной плоскости вектор \vec{v} (рис. 6.39) по единичным векторам \vec{i} и \vec{j}, т. е. представим в виде \vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}.

Решение. Разложим вектор \vec{v} на составляющие, параллельные координатным осям. Пусть проекцией точки А на ось Ох будет точка B(7; 0), а проекцией на ось Оу – точка C(0; −4). Тогда \vec{v}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.

Так как векторы \overrightarrow{OB} и \vec{i} сонаправлены, \left|\overrightarrow{OB}\right|=7 и \left|\vec{i}\right|=1, то \overrightarrow{OB}=7\vec{i}. Векторы \overrightarrow{OC} и \vec{j} имеют противоположные направления, \left|\overrightarrow{OC}\right|=4 и \left|\vec{j}\right|=1. Поэтому \overrightarrow{OC}=-4\vec{j}.

Следовательно, \vec{v}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=7\vec{i}-4\vec{j}.

Рис. 6.39

Пример 5.

На рисунке 6.40 даны векторы \overrightarrow{OM} и \overrightarrow{AB}. Выразим эти векторы через векторы \vec{i} и \vec{j}, если M(–4; 0), E(1; 0), F(7; 0), H(0; 3) и G(0; –5).

Решение. Так как  \left|\overrightarrow{OM}\right|=4 и вектор \overrightarrow{OM} противоположно направлен вектору \vec{i}, то \overrightarrow{OM}=-4\vec{i}. Чтобы выразить вектор \overrightarrow{OM}  через \vec{i} и \vec{j}, достаточно записать: \overrightarrow{OM}=-4\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}.

Вектор \overrightarrow{AB} разложим по его составляющим, параллельным координатным осям: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}. Так как \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EF} и \overrightarrow{EF}=6\vec{i}, то \overrightarrow{AC}=6\vec{i}. Аналогично получим, что \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{GH}=8\vec{j} и \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+8\vec{j}.

Рис. 6.40

Замечание. Последнюю задачу можно решить и по-другому: заменим вектор \overrightarrow{AB} равным ему вектором \overrightarrow{OB'} и разложим последний вектор по образцу примера 4 на составляющие, параллельные координатным осям.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 922. Направление, ориентированное направление и длина вектора

 Дан некоторый вектор \vec{v}. Объясните, каковы направление и длина относительно вектора \vec{v}каждого из следующих векторов.

Вектор

Неориентированное направление

Ориентированное направление

Длина

5\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

2,86\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-4\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-0,54\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

Дан некоторый вектор \vec{v}. Объясните, каковы направление и длина относительно вектора \vec{v}каждого из следующих векторов.

Вектор

Неориентированное направление

Ориентированное направление

Длина

6\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-1\cdot\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

0\cdot\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

-44\vec{v}

·\left|\vec{v}\right|

Задание 923. Умножение вектора на число

Начертите в тетради некоторый вектор \vec{a} и постройте вектор:

4\vec{a}

\frac{3}{4}\vec{a}

-1,2\vec{a}

Начертите в тетради некоторый вектор \vec{a} и постройте вектор:

1,5\vec{a}

-3\vec{a}

-\frac{7}{2}\vec{a}

Задание 924. Умножение вектора на число

Начертите неколлинеарные векторы \vec{a} и \vec{b}. Постройте вектор:

\vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}

\vec{v}=-2\vec{a}+\vec{b}

Начертите неколлинеарные векторы \vec{a} и \vec{b}. Постройте вектор:

\vec{n}=-\vec{a}-\vec{b}

\vec{p}=4\vec{a}-2\vec{b}

Начертите неколлинеарные векторы \vec{a} и \vec{b}. Постройте вектор:

\vec{q}=1,2\vec{a}+1,4\vec{b}

\vec{s}=0\cdot\vec{a}+1,5\vec{b}

Задание 925. Ромб

На рисунке 6.41 дан ромб ABCD, причем AE = ED, AF=\frac{2}{3}AB. Выразите следующие векторы через векторы \vec{a} и \vec{b}:

Рис. 6.41

\overrightarrow{AD} = 

\overrightarrow{BC} = 

\overrightarrow{CB} = 

\overrightarrow{AB} = 

\overrightarrow{AC} = 

\overrightarrow{BD} = 

Задание 926. Упрощение выражения

5\vec{b}+3\left(\vec{b}-\vec{a}\right)-4\left(3\vec{b}-2\vec{a}\right)+12\vec{a} = 

2\left(4\vec{v}-5\vec{u}\right)-8\left(\vec{v}+2\vec{u}\right)-4\vec{u} = 

Задание 927. Выражение одного вектора через другой вектор

Дан вектор \vec{u}=4\left(2\vec{m}+3\vec{k}\right)+5\left(2\vec{m}-4\vec{n}\right). Выразите вектор \vec{u} через вектор \vec{k}, если \vec{m}=-0,1\vec{k} и \vec{n}=0,5\vec{k}.

Ответ: \vec{u} = 

Задание 928. Выражение вектора

Найдите вектор \vec{x}=3\vec{u}-4\vec{v}, если \vec{u}=2\vec{a}-\vec{b} и \vec{v}=3\vec{b}-2\vec{a}.

Ответ: \vec{x} = 

Задание 929. Построение вектора с помощью единичных векторов координатных осей

\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}

\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}

\vec{c}=-2\vec{i}-\vec{j}

Задание 930. Выражение вектора через единичные векторы

Начертите прямоугольную систему координат с единичными векторами \vec{i} и \vec{j}. Начертите три вектора \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, расположенные в разных четвертях и исходящие из начала координат. Разложите эти векторы на составляющие, параллельные осям координат. Выразите найденные составляющие через векторы \vec{i} и \vec{j}. Выразите векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} через векторы \vec{i} и \vec{j}.

Задание 931. Выражение вектора через единичные векторы

Выразите изображенные векторы через векторы \vec{i} и \vec{j}.

Задание 932. Выражение вектора через единичные векторы

Разложите этот вектор по составляющим, параллельным координатным осям, и выразите его через векторы \vec{i} и \vec{j}.

Задание 933. Построение вектора с помощью единичных векторов координатных осей

\vec{p}=-3\vec{i}+5\vec{j}

\vec{q}=8\vec{i}

\vec{r}=-4\vec{j}

Seotud sisu
Muud tegevused