Применения скалярного произведения векторов

С помощью скалярного произведения векторов можно решать многие задачи и выводить некоторые формулы.

Пример 1.

Найдем углы треугольника, вершинами которого являются точки A(7; –1), B(10; 5) и C(–2; 2).

Найдем угол α между векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC} . Так как

\overrightarrow{AB} = \left(10-7;\ 5-\left(-1\right)\right) = \left(3;\ 6\right) и \overrightarrow{AC} = \left(-2-7;\ 2-\left(-1\right)\right) = \left(-9;\ 3\right), то

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\cdot\left(-9\right)+6\cdot3 = -27+18 = -9,

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},

\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\left(-9\right)^2+3^2}=3\sqrt{10} и

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{-9}{3\sqrt{5}\cdot3\sqrt{10}}=-0,1414.

Отсюда α = 98°7'44''.

Аналогично найдем, например, угол β:

\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=\left(-3;\ -6\right), \overrightarrow{BC}=\left(-12;\ -3\right) ⇒ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=36+18=54,

\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=3\sqrt{5}, \left|\overrightarrow{BC}\right|=3\sqrt{17} и \cos\mathrm{\beta}=\frac{54}{3\sqrt{5}\cdot3\sqrt{17}}=0,6508.

Отсюда β = 49°23'53'' и γ = 180° – α – β = 180° – 147°31'37'' = 32°28'23''.

Пример 2.

Найдем работу, выполненную силой \vec{F}=\left(7,5;\ 7,5\sqrt{3}\right) при перемещении материальной точки Р на вектор \vec{s}=\left(100;\ 0\right).

Решение. Выясним, под каким углом к направлению вектора \vec{s} действует сила \vec{F}. Работа А, выполненная силой \vec{F}, выражается равенством A=\vec{F}\cdot\vec{s} (см. §6.10).

Выражая скалярное произведение через координаты, получим: A=7,5\cdot100+7,5\sqrt{3}\cdot0=750. Угол φ найдем из равенства

\cos\varphi=\frac{\vec{F}\cdot\vec{s}}{\left|\vec{F}\right|\cdot\left|\vec{s}\right|}=\frac{750}{15\cdot100}=0,5. 

Отсюда φ = 60°.

Выведем теперь формулу косинуса разности двух углов:

\cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)=\cos\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}+\sin\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}.

Рассмотрим на координатной плоскости углы α и β, на конечных сторонах которых возьмем соответственно единичные векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} (рис. 6.56). Так как векторы единичные, то \overrightarrow{OA}=\left(\cos\mathrm{\alpha};\ \sin\mathrm{\alpha}\right) и \overrightarrow{OB}=\left(\cos\mathrm{\beta};\ \sin\mathrm{\beta}\right). Найдем косинус угла α – β между векторами \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}:

Рис. 6.56

\cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right) = \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{OB}\right|} = \frac{\cos\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}+\sin\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}}{1\cdot1} = \cos\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}+\sin\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}.

Таким образом, формула доказана, т. е.

\cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)=\cos\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\beta}+\sin\mathrm{\alpha}\cdot\sin\mathrm{\beta}.

С помощью скалярного произведения можно доказать и теорему косинусов. Рассмотрим это доказательство.

Пусть дан треугольник ABC, стороны которого a=BC, b=AC, c=AB и \angle BAC=\mathrm{\alpha}. Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB}=\vec{c}, \overrightarrow{AC}=\vec{b}, \overrightarrow{BC}=\vec{a} (рис. 6.57). Тогда \left|\vec{a}\right|=a, \left|\vec{b}\right|=b, \left|\vec{c}\right|=c.

Теперь получим

\vec{c}+\vec{a}=\vec{b} ⇒ \vec{a}=\vec{b}-\vec{c}.

Рис. 6.57

Найдем скалярный квадрат \vec{a}^2:

\vec{a}^2 = \left(\vec{b}-\vec{c}\right)^2 = \vec{b}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}^2.

Так как

\vec{a}^2=\left|\vec{a}\right|^2=a^2, \vec{b}^2=\left|\vec{b}\right|^2=b^2, \vec{c}^2=\left|\vec{c}\right|^2=c^2 и \vec{b}\cdot\vec{c}=bc\cos\mathrm{\alpha},

то из равенства

\vec{a}^2=\vec{b}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}^2

получим, что

a^2=b^2-2bc\cos\mathrm{\alpha}+c^2,

или

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{\alpha}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 984. Углы треугольника

A(–6; 0), B(6; –5), C(3; 11)

Ответ: α = ; β = ; γ = .

A(4; –7), B(12; 1), C(1; 12)

Ответ: α = ; β =  ; γ = .

A(0; 0), B(10; –5), C(–5; 10)

Ответ: α = ; β =  ; γ = .

A(–2; 2), B(5; 3), C(0; 6)

Ответ: α = ; β = ; γ = .

Задание 985. Решение треугольника

K(–6; 3), M(8; 1), N(6; 7)

Ответ: ∠K = ; ∠M = ; ∠N = ; KM = ; KN = ; MN = .

P(–3; –2), Q(4; –4), R(8; 5)

Ответ: ∠P = ; ∠Q = ; ∠R = ; PQ = ; PR = ; QR = .

O(0; 0), A(8; 0), B(8; 6)

Ответ: ∠O = ; ∠A = ; ∠B = ; OA = ; OB = ; AB = .

A(–10; –4), B(7; –2), C(0; 3)

Ответ: ∠A = ; ∠B = ; ∠C = ; AB = ; AC = ; BC = .

Задание 986. Выполненная работа и угол действия силы

Найдите работу, выполненную силой \vec{F}=\left(12;\ 5\right)при перемещении материальной точки М на вектор \vec{s}=\left(8;\ 6\right). Под каким углом к направлению вектора \vec{s} действует сила \vec{F}?

Ответ: A = ; φ = .

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 987. Углы и периметр участка земли

Ответ: ∠A = ; ∠B = ; ∠C = ; ∠D = ; P = .

Задание 988. Доказательство

Задание 989. Теорема косинусов

Seotud sisu
Muud tegevused