Степень с целочисленным показателем

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Из курса основной школы мы знаем свойства степеней с натуральным показателем степени.

$a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ (n множителей, n > 0)

$a^{1} = a$

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} (b \neq 0)$

${(a^{n})}^{m} = a^{n m}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a \neq 0)$

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Четная степень отрицательного числа положительна:

${(- a)}^{2 n} = a^{2 n} (a \geq 0) .$

Нечетная степень отрицательного числа отрицательна:

${(- a)}^{2 n + 1} = - a^{2 n + 1} (a \geq 0) .$

–5² =

(–5)² =

–2⁵ =

(–2)⁵ =

\frac{3^{2}}{4}

{(\frac{3}{4})}^{2}

{(- \frac{2}{5})}^{2}

- {(\frac{2}{5})}^{2}

4^{6} \cdot {0,5}^{6}

{(2 \frac{1}{2})}^{2}

8^{5} \cdot {0,25}^{5}

{(1 \frac{1}{4})}^{3}

\frac{6^{5}}{2^{5}}

\frac{8^{4}}{4^{4}}

{(2^{2})}^{3}

{(3^{3})}^{2}

{(- 2^{2})}^{3}

{(- 3^{3})}^{2}

{2^{2}}^{3}

- {2^{2}}^{3}

{3^{2}}^{2}

\frac{{(3^{5})}^{2}}{{(3^{2})}^{4}}

- {3^{2}}^{2}

\frac{{(2^{2})}^{7}}{{(2^{5})}^{2}}

Рассмотрим теперь возведение в степень в случаях, когда показатель степени равен 0 или является отрицательным целым числом. Будем исходить из уже известной нам формулы\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.Полагая в этой формуле m = n, получим, что a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}.Так как n-n=0 и \frac{a^n}{a^n}=1, то

a^{0} = 1

. Следовательно,

всякое отличное от нуля число в степени нуль равно единице.

Считается, что значение 0^0 не определено.

Если в формуле \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} взять m=0, то \frac{a^0}{a^n}=a^{0-n}. Учитывая, что a^0=1, получим отсюда формулу возведения в степень с отрицательным показателем: a^{-n}=\frac{1}{a^n}.Воспользуемся этой формулой для возведения в степень дроби:\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=1\ :\ \left(\frac{a}{b}\right)^n=1\ :\ \frac{a^n}{b^n}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n, или

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

. Таким образом,

чтобы возвести отличное от нуля действительное число в степень с отрицательным показателем, нужно возвести число, обратное данному числу, в степень с показателем, противоположным исходному показателю.

64; 32; 16; 8; 4; 2; ; ; ; ...

6; 5; 4; 3; 2; 1; ; ; ; ...

Как связаны между собой эти последовательности?

{(3 + \frac{187}{305})}^{0} + 3^{- 1}

{(\frac{2}{3})}^{- 4}

{[2 - 1,8 (5)]}^{0} + 2^{- 1}

{(- \frac{4}{5})}^{- 2}

4^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 5}

{(\frac{4}{3})}^{3} : {(0,75)}^{- 2}

{(0,75)}^{- 3} : {(1 \frac{1}{3})}^{2}

9^{- 3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{- 5}

{(0,375)}^{- 3} : {(2 \frac{2}{3})}^{2}

\frac{3^{- 1} - {(\frac{2}{3})}^{- 2}}{2 - {(\frac{3}{4})}^{2}} \cdot {(5^{0} - \frac{1}{6})}^{- 1} + 2 \cdot 10^{- 1}

{(6^{1} - 6^{- 1})}^{- 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{2} - 1^{3} \cdot 1^{0}}{4 - {(\frac{2}{5})}^{- 2}} - 3 \cdot 14^{- 1}

\frac{2^{- 3} + {(- \frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{15 \cdot 15^{0} - {0,1}^{- 1}}

4¹⁰⁰ 32⁵⁰

2³⁰⁰ 3²⁰⁰

{(\frac{1}{16})}^{100}

2^-500

4³⁰⁰ 3⁴⁰⁰

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Степень с целочисленным показателем

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid